1樓：
f'(x) 在 [a,b] 有界是 f(x) 在 [a,b] 有界的充分非必要條件。
利用 lagrange 中值定理，有
f(x)-f(a) = f'[a+θ(x-a)](x-a)，0<θ由 f'(x) 在 [a,b] 的有界性可得 f(x) 在 [a,b] 的有界性。反之，由 f(x) 在 [a,b] 的有界，並不能導致 f'(x) 在 [a,b] 的存在性，更不用說 f'(x) 在 [a,b] 的有界性。
例如，函式f(x) = sin(1/x)，x≠0，
= 0，x=0，
在 包含 0 的任何閉區間 [a,b] 是有界的，但 f(x) 在 x=0 不可導。
函式有界性的判斷：
1、理論法：若f(x)在定義域[a,b]上連續，或者放寬到常義可積（有限個第一類間斷點），則f(x)在[a,b]上必然有界。
2、計演算法：切分(a,b)內連續
limx→a+f(x)存在limx→a+f(x)存在；limx→b−f(x)存在limx→b−f(x)存在 則f(x)在定義域[a,b]內有界。
3、運算規則判定：在邊界極限不存在時
有界函式 ±± 有界函式 = 有界函式 （有限個，基本不會有無窮個，無窮是個難分高低的狀態）有界 x 有界 = 有界。
2樓：匿名使用者
利用 lagrange 中值定理，有
f(x)-f(a) = f'[a+θ(x-a)](x-a)，0<θ 由 f'(x) 在 [a,b] 的有界性可得 f(x) 在 [a,b] 的有界性。反之，由 f(x) 在 [a,b] 的有界，並不能導致 f'(x) 在 [a,b] 的存在性，更不用說 f'(x) 在 [a,b] 的有界性。例如，函式 f(x) = sin(1/x)，x≠0， = 0，x=0， 在 包含 0 的任何閉區間 [a,b] 是有界的，但 f(x) 在 x=0 不可導。 綜上所述，f'(x) 在 [a,b] 有界是 f(x) 在 [a,b] 有界的充分非必要條件。 設f(x)在（a,b）上可導，且f'(x)在(a,b)上有界，求證f(x)在（a,b）上有界 3樓：風痕雲跡 f'(x)在(a,b)上有界 ==》 存在 m>0 使得 |f'(x)| |f(x)| <=|f(c)| + m*|x-c|<(b-a)*m + |f(c)| 於是 f(x)在（a,b）上有界 f(x)的導數在（a,b）上成立時f(x)在(a,b)上單調遞增的充分條件，為什麼 4樓：匿名使用者 是想說在（a,b）上f'(x)>0是f(x)在(a,b)上單調遞增的充分條件吧 因為幾何上f'(x)為函式曲線的切線，代表函式的影象走勢趨勢，大於0則表示函式影象向上走，即單增 f(x)在[a,b]上可積的條件有哪些？ 5樓：匿名使用者 f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可積的條件。 1、例如這個函式 f（x）=1（x是有理數）；0（x是無理數） 很明顯，這個函式是個有界函式，函式值只有1和0兩個值。 而這個函式在任何區間內都有無數個間斷點、所以在任何區間內都不可積。 所以有界是可積的不充分條件。 2、例如這個函式 f（x）=1（x＜0）；0（x≥0） 這個函式不是連續函式，有一個跳躍間斷點。但是這個函式在包含0的區間內是可積的。 所以連續不是可積的必要條件。 擴充套件資料 性質：若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式的單調區間。此時也說函式是這一區間上的單調函式。 如果對於屬於i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1相反地，如果對於屬於i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1、x2，當x1f(x2)，那麼f(x)在這個區間上是減函式。 函式在某一區間內的函式值y，隨自變數x的值增大而增大（或減小）恆成立。若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式的單調區間。此時也說函式是這一區間上的單調函式。 6樓：易水飛霜 函式f(x)在區間[a,b]中有界就可以。 如果函式f(x)在區間[a,b]上有界但不連續，則函式可積分，但是不可導。 如果函式f(x)在區間[a,b]上有界且連續，則函式可積分，也可導 7樓：舒嘯 有界只是函式可積的必要條件，並不是充分條件，有界不一定可積，如狄利克雷函式。 閉區間上的連續函式可積， 閉區間上的單調函式可積 而關於函式可積性的充要條件在實變函式中會給出答案 如果f(x)在[a,b]上一致連續,證明f(x)在[a,b]上有界 8樓：匿名使用者 閉區間上的一致連續函式一定在這個區間內連續，閉區間上連續的函式一定有界。 9樓：匿名使用者 用反證法。若無界， 對任意ε>0,存在δ>0,使得x1,x2屬於（a,b),且兩數差的絕對值<δ時，兩數函式值的絕對值<ε. 任取xn屬於(a,b)，xn的極限為a+,則為柯西數列。故存在正整數n，當m,n>n時，xn,xm的絕對值<δ,故兩函式值的絕對值<ε,從而為柯西數列，故收斂。任意xn1,xn2趨於a+(n趨於無窮大)，顯然有 x11,x12,x21,x22,…,xn1,xn2,…趨於a+. 可知f(xn1),f(xn2)的極限均為a+可知當x趨於a的極限存在有限。 同理可得其他 選d。設函式f x 在 a，b 內可導，則 f x 在 a，b 內嚴格單調增加。在 a，b 內 f x 0 且f x 在 a，b 的任何一個子區間上不恆等於0 對於一元函式有，可微 可導 連續 可積。對於多元函式，不存在可導的概念，只有偏導數存在。函式在某處可微等價於在該處沿所有方向的方向導數存在，... 泰勒即可。先證f a b 2 1 b a int f x dx f x f a b 2 f a b 2 x a b 2 1 2 f u x a b 2 2 f a b 2 f a b 2 x a b 2 因此 int f x dx int f a b 2 f a b 2 x a b 2 dx f a... f x 在 a,b 上有界，是f x 在 a,b 上可積的條件。1 例如這個函式 f x 1 x是有理數 0 x是無理數 很明顯，這個函式是個有界函式，函式值只有1和0兩個值。而這個函式在任何區間內都有無數個間斷點 所以在任何區間內都不可積。所以有界是可積的不充分條件。2 例如這個函式 f x 1 ...設函式f x 在（a,b）內可導，則在（a,b）內f x 0是f x 在（a,b）內單調增加的（）
設函式在a,b上有二階導數,且fx 0,證明
f x 在上可積的條件有哪些，f x 在 a,b 上可積的條件有哪些？