1樓：匿名使用者
第一題：證明 x^(2n-1)+y^(2n-1) 能被x+y整除
1、n=1時 x+y能被x+y整除 故n=1時成立
n=2時 x^3+y^3=(x+y)(x²+xy+y²)能被x+y整除
2、假設n=k，n=k-1時 命題成立
即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y 整除
x^(2k-3)+y^(2k-3)能被x+y整除
3、當n=k+1時
x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)
=x^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))-x2*y2（x^(2k-3)+y^(2k-3)）
以上3式都能被x+y整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被x+y整除
即n=k+1時命題也成立
故對一切自然數n 命題成立
第二題：n3+5n能被6整除
證明:(1)當n=1時,13+5×1=6,命題顯然成立.
(2)假設當n=k時,k3+5k能被6整除.
因(k+1)3+5(k+1)=k3+3k2+3k+1+5k+5
=(k3+5k)+3k(k+1)+6,
其中兩個連續自然數之積的3倍能被6整除,k3+5k,3k(k+1),6分別能被6整除,所以當n=k+1時,命題成立.
據(1)(2)可知對於任意的n∈n*,命題都成立.
2樓：
數學歸納法證明就是一個固定模式，自己看看教材例題就會做。別什麼都問，只有自己多想才能真正學會數學。祝你成功！
用數學歸納法證明x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除
3樓：錯瀅池歌闌
這裡的整除是指因式分解後能出來x+y這一項的意思
比如a²-b²能被a+b和a-b整除,沒有刻意強調整數的概念
4樓：匿名使用者
當n=1時
x^(2n-1)+y^(2n-1)
=x+y
(x+y)/(x+y)=1
能被x+y整除。
假設當n=k(k為整數，且k>=2)時，x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除，
則當n=k=1時
令x^(2k-1)+y^(2k-1)=a(x+y)
則x^(2k-1)=a(x+y)-y^(2k-1)
x^[2(k+1)-1]+y^[2(k+1)-1]
=x^(2k-1+2)+y^(2k-1+2)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*[a(x+y)-y^(2k-1)]+y^2*y^(2k-1)
=x^2*a(x+y)-x^2y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)
=x^2*a(x+y)+(y^2-x^2)*y^(2k-1)
=x^2*a(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)
兩項中均含x+y
[x^2*a(x+y)+(x+y)(y-x)*y^(2k-1)]/(x+y)
=ax^2+(y-x)*y^(2k-1)為整數
能被x+y整除。
綜上，x^(2n-1)+y^(2n-1)能被x+y整除
5樓：匿名使用者
(1)n=1時,成立
(2)設n=k時,成立
(x^(2k-1)+y^(2k-1))%(x+y)=0x^(2(k+1)-1)+y^(2(k+1)-1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^(2k-1)x^2+y^(2k-1)y^2=x^(2k-1)x^2+y^(2k-1)x^2+y^(2k-1)(y^2-x^2)
=x^2(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^(2k-1)(y+x)(y-x)
∴n=k+1時也成立
綜上所述,對任意n>=1結論均成立
6樓：計算天下
（1）當n=1時，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x+y,顯然可以被x+y整除。
（2）假設當n=k時，命題成立，即x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除，則當n=k+1時，x^(2n-1)+y^(2n-1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2(x^(2k-1)+y^(2k-1))-y^(2k-1)*(x-y)*(x+y),也可以被x+y整除，即n=k+1時，假設也成立。
由（1），（2）可得，對於一切正整數n，x^（2n-1）+y^（2n-1）都能被x+y整除
7樓：朋望勵曼語
為什麼x3
y3=(x
y)(x²
xyy²)能被x
y整除？
8樓：愛瑤家溪
1、n=1時
x+y能被x+y整除
故n=1時成立
n=2時
x^3+y^3=(x+y)(x²+xy+y²)能被x+y整除2、假設n=k，n=k-1時
命題成立
即x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y整除x^(2k-3)+y^(2k-3)能被x+y整除3、當n=k+1時
x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)
=x^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))-x2*y2（x^(2k-3)+y^(2k-3)）
以上3式都能被x+y整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被x+y整除即n=k+1時命題也成立
故對一切自然數n
命題成立
用數學歸納法證明:x^(2n+1)+y^(2n+1)能被x+y整除
9樓：匿名使用者
n=0時肯定成立了，
現在n-1時結論成立，看n的情形；
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2n+1)+x^(2n)*y+xy^(2n)+y^(2n+1)-x^(2n)*y-xy^(2n)
=(x^(2n)+y^(2n))(x+y)-(x^(2n-1)+y^(2n-1))xy
等式的後半部分(x^(2n-1)+y^(2n-1))xy根據歸納法假設可以被x+y整除，所以結論對n成立。所以結論對自然數成立。
歸納法不必從n=1開始，只要有一個起點就可（這裡選的是n=0），也不用要n=n，看n+1，能接續上(從n-1到n)就行。你在上中學？
我這個不就是普通的配方法麼，而且我解釋了從n-1推他的後繼n成立也可以啊。
10樓：老兔
x^(2n+1)+y^(2n+1)
=(x+y)^(2n+1)
所以它能被x+y整除
用數學歸納法證明 x^(2n-1) + y^(2n-1) 能被x+y整除
11樓：
1、n=1時 x+y能被x+y整除 故n=1時成立n=2時 x^3+y^3=(x+y)(x²+xy+y²)能被x+y整除
2、假設n=k，n=k-1時 命題成立
即 x^(2k-1)+y^(2k-1)能被x+y 整除x^(2k-3)+y^(2k-3)能被x+y整除3、當n=k+1時
x^(2k+1)+y^(2k+1)
=x^2*x^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)=x^2*x^(2k-1)+x^2*y^(2k-1)+y^2*y^(2k-1)+y^2*x^(2k-1)-x^2*y^(2k-1)-y^2*x^(2k-1)
=x^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))+y^2*(x^(2k-1)+y^(2k-1))-x2*y2（x^(2k-3)+y^(2k-3)）
以上3式都能被x+y整除
故x^(2k+1)+y^(2k+1)能被x+y整除即n=k+1時命題也成立
故對一切自然數n 命題成立
用數學歸納法證明:x^2n-1+y^2n-1能被x+y整除
12樓：匿名使用者
1.n=1, 顯然能整除
2.假設n=k（k>1)能被整除，即x^(2k-1)+y^(2k-1)=a(x+y)
當n=k+1時, x^(2k+1)+y^(2k+1)=x^(2k-1)*x^2+y^(2k-1)*y^2=a(x+y)-y^(2k-1)*x^2+y^(2k-1)*y^2=a(x+y)+y^(2k-1)(y^2-x^2)=a(x+y)+y^(2k-1)(y+x)(y-x)以上兩項都能被（x+y)整除，得證
怎麼樣用數學歸納法證明x的2n-1次方+y的2n-1次方能被x+y整除
13樓：匿名使用者
用第二數學歸納法
n=1時
x+y顯然能被x+y整除
假設n<=k時成立
x^(2k+1)+y^(2k+1)=[x^(2k-1)+y^(2k-1)](x^2+y^2)-x^2y^2[x^(2k-3)+y^(2k-3)]
右邊分別對應n=k和n=k-1的情況，都可以被x+y整除兩項之和也能被x+y整除，即n=k+1時成立證畢
用數學歸納法證明x2n+1次方+y2n+1次方能被x+y整除
14樓：匿名使用者
題目中x y 應該為整數吧
當n=0時，
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x+y 能被整除
當n=1時，
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)
當n=2時，
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^3+y^3=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-(y^3*x^2+x^3*y^2)
=(x^3+y^3)(x^2+y^2)-x^2*y^2(x+y)
兩個數都能被x+y整除
假設當n=k是，滿足條件
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=（（x+y）*m m為整數
假設當n=k-1是，滿足條件
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=（（x+y）*p p為整數
那麼當n=k+1時
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+3)+y^(2k+3）
=（x^(2k+1)+y^(2k+1）)*(x^2+y^2)-(x^(2k+1)*y^2+y^(2k+1)*x^2)
=m*(x^2+y^2)*(x+y)-x^2*y^2*（x^(2k-1)+y^(2k-1））
=m*(x^2+y^2)*(x+y)-p*x^2*y^2*（x+y）
上述兩個都能被x+y整除
所以結論成立
用數學歸納法證明x^2n-1 y^2n-1能被x y整除
15樓：為之益
證明：①n=1時，
x^2n-1 y^2n-1=xy，xy÷x=y，xy÷y=x，可以被x y整除
②n>=2時，假設x^2n-1 y^2n-1可以被x y整除k=n+1時，x^2k-1 y^2k-1=x^2k+1 y^2k+1=（x^2k-1 y^2k-1）x²y²，可以同時被x，y整除得證！
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