1樓：希望教育資料庫
第一步兩邊平方是對的,再下去就.
兩邊平方後,兩邊都顛倒分子分母,得：
1/x[n+1]^2=(x[n]^2+2)/2x[n]^2即1/x[n+1]^2=1/2+1/x[n]^2所以為等差數列,首項為1,公差1/2
結果是x[n]=[2/(n+1)]開根號.
希望對你有所幫助 還望採納~~
2樓：匿名使用者
1. 等差數列
對於一個數列，如果任意相鄰兩項之差為一個常數，那麼該數列為等差數列，且稱這一定值差為公差，記為 d ；從第一項 a1到第n項 an的總和，記為sn 。
那麼 ， 通項公式為
其求法很重要，利用了「疊加原理」的思想：
將以上 n-1 個式子相加， 便會接連消去很多相關的項 ，最終等式左邊餘下an ,而右邊則餘下a1和 n-1 個d,如此便得到上述通項公式,此外， 數列前 n 項的和
其具體推導方式較簡單，可用以上類似的疊加的方法，也可以採取迭代的方法，在此，不再複述。值得說明的是，也即，前n項的和sn 除以 n 後，便得到一個以a1 為首項，以 d /2 為公差的新數列，利用這一特點可以使很多涉及sn的數列問題迎刃而解。
2. 等比數列
對於一個數列 ，如果任意相鄰兩項之商（即二者的比）為一個常數，那麼該數列為等比數列，且稱這一定值商為公比 q ；從第一項a1 到第n項an 的總和，記為tn 。那麼， 通項公式為
(即a1 乘以q 的 （n-1)次方，其推導為「連乘原理」的思想：
a2=a1 * q,
a3= a2 * q,
a4= a3 * q,
an=an-1 * q,
將以上(n-1)項相乘，左右消去相應項後，左邊餘下an , 右邊餘下a1和(n-1)個q的乘積，也即得到了所述通項公式。此外， 當q=1時 該數列的前n項和
當q≠1時 該數列前n 項的和
設數列{xn}是由x1=2,xn+1=xn/2+1/xn(n≥1)定義的數列,求證根號2
3樓：匿名使用者
證 利用數學歸納法
i.當n=1時，x(2)=x(1)/2 + 1/x(1) = 3/2 又 x1= 2 則 √2 < 3/2 < √2 + 1成立
ii.當n=k時，假設 √2 < x(k) < √2 + 1/k 成立
則 x(k+1) = x(k)/2 + 1/x(k) ≥ 2√1/2 = √2 * 當且僅當 x(k) = √2 /2 時取等
由假設 x(k) > √2 故 x(k+1) > √2 得證
再證右側
由函式單調性易知，當x(k) ∈ (√2,+∞) 時 x(k+1) ≤ x(k)max /2 + 1/x(k)max **
故由假設 x(k+1) < (√2 + 1/k )/2 + 1/(√2 + 1/k) = √2 /2 + 1/2k + 1/(√2 + 1/k) 由k>1>0
< √2 /2 + 1/2k + 1/√2 = √2 + 1/2k
< √2 + 1/(k+1) 得證
即當 √2 < x(k) < √2 + 1/k 成立時有 √2 < x(k+1) < √2 + 1/(k+1) 成立
綜合i. ii. 命題 √2 < x(n) < √2 + 1/n 恆成立(n≥1)
* 基本不等式 a + b ≥ 2√ab 當且僅當 a=b 時取等
** 函式f(x)= x/2 + 1/x 在(0,√2)上單調遞減，在(√2,+∞)單調遞增，而( xk , f (x(k)) ) 為其(√2,+∞) 上的點，故x(k+1) = f (x(k)) 在(√2,+∞) 上有最大值 x(k)max /2 + 1/x(k)max
設x1=2,xn+1=1/2(xn+1/xn)(n=1,2,…),證明數列{xn}收斂,並求其極限.
4樓：曉龍修理
證明：∵ xn > 0
∴x(n+1)^2 = 6 + xn
∴x(n+1)^2 - 9 = xn - 3
∴x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3)
∵ x1 > 3, 由上式 xn > 3 對一切xn成立
∴x(n+1) - 3 = (xn - 3) / (x(n+1) + 3) < （xn - 3）/3
即 是正數遞減序列， 所以
極限存在。
得到其極限為0，所以原數列極限為3。
性質：設一元實函式f(x)在點x0的某去心鄰域內有定義。函式f(x)在點x0的左右極限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。
函式f(x)在點x0的左右極限中至少有一個不存在。函式f(x)在點x0的左右極限都存在且相等，但不等於f(x0)或者f(x)在點x0無定義。則函式f(x)在點x0為不連續，而點x0稱為函式f(x)的間斷點。
如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數，正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列sm 有上界。
例如∑1/n！收斂，因為：sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。
5樓：王
極限為0.5*（1+根號5）.證明：
設f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）),對f（x）求導,得導數為正,f（x）單調遞增,又f（x）=1+(xn-1/（1+xn-1）)小於2,有上界.利用單調有界定理知其極限存在.對xn=1+(xn-1/（1+xn-1）)倆邊取極限,設xn的極限為a（n趨向無窮大）可得a=1+a/（1+a) 解這個方程,結果取正就可以了.
6樓：匿名使用者
xn=1+(xn-1/（1+xn-1））>1，xn=2-1/（1+xn-1）<2，故xn有界收斂。
設極限為c，則c=2-1/（1+c），c=（1±√5）/2，排除負數解，故極限為（1+√5）/2
已知數列{xn}滿足，x1=1/2,x(n+1)=1/(1+xn) 15
7樓：匿名使用者
(1) 由題意可以xn為分式，不妨設xn=an/bn,且an，bn互質，
可知 x1=1/2，x2=2/3，x3=3/5，x4=5/8，x5=8/13，x6=13/21……
即a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,……
b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=13,b6=21,……
bn=an+1
所以xn=an/an+1)
an+2=an+1+an
在數列中
x2n-x2(n-1)=a2n/a2n+1-a2n-2/a2n=（a2n*a2n-a2n+1*a2n-2）/(a2n+1*a2n)
分母為正數，為了書寫方便，先捨去，只計算分子
a2n*a2n-a2n+1*a2n-2=（a2n-1+a2n-2）^2-(a2n-2+2a2n-1)*(a2n-2)=(a2n-1)
^2>0
所以 x2n-x2(n-1)＞0，數列為增函式(2)當n=1時|x2-x1|=1/6成立 當n≥2時易知0＜xn-1＜1所以1+xn-1＜2所以xn=1/（1+xn-1）＞1/2 又有|xn+1-xn|=|1/（1+xn）-1/（1+xn-1）|=|xn-xn-1|/[（1+xn）*（1+xn-1）]又有注意到（1+xn）*（1+xn-1）=[1+1/（1+xn-1）]*（1+xn-1）=2+xn-1≥2+1/2=5/2 所以|xn+1-xn|≤2/5|xn-xn-1|≤（2/5）²|xn-1-xn-2|≤...≤（2/5）ˆn-1*|x2-x1|=1/6（2/5）ˆn-1 這樣就證出來了，望採納~
8樓：100度度
這是09陝西高考理科數學最後一題，用數學歸納法可證明。
第一問，應為猜想數列的單調性，並證明
9樓：匿名使用者
求導數，導數大於0單調增加，導數小於0單調減小
高數題 數列xn由以下表示式給出 x0=1 xn+1=1+xn/（1+xn）
10樓：匿名使用者
這種用單調有界來證明極限存在的問題最好反過來先求極限，然後拿極限值作為參考進行放縮
設極限是a，遞推式兩邊對n求極限
a=1+a/(1+a)，a^2-a-1=0，a=(1+√5)/2（舍掉負根）
xn>=1顯然成立，x[n+1]=2-1/(1+xn)<2也恆成立，有界
只要證明單調即可，用數學歸納法證明1<=xn0
x[k+1]=2-1/(1+xk)<2-1/(1+a)=2-2/(3+√5)=2-(3-√5)/2=(1+√5)/2=a
即1<=xk 證畢，xn單調有界，極限存在，前面求出的a=(1+√5)/2即極限值 當n 1時 1 2根號1 成立 設1 1 根號2 1 根號3 1 根號n x 2根號n 成立 則x 1 根號 n 1 2根號n 1 根號 n 1 2根號 n 1 2根號n 1 根號 n 1 0 即x 1 根號 n 1 2根號n 1 根號 n 1 2根號 n 1 成立 所以1 1 根號2 1 根號3 ... 羊舌恬暢肖薇 1，根號 n 1 根號 n 1 根號 n 1 根號 n 根號 n 2 根號 n 1 1 根號 n 2 根號 n 1 代入求極限為1。或直接用施篤茲定理化為，根號n 根號 n 1 的極限，即為1 旁天藍萬曜 等於1先有理化，根號下n 1 根號下n 1 根號下n 1 根號下n 根號下n 2... 10 根號2 根號2 根號6 4 2.5 2 根號12 5 5 根號3 陳峰 10 2x 2 6 4 10 2x 2 4 6 4 5 5 3 10倍根號3除以4分之根號2加根號6是多少 宇文仙 10倍根號3除以4分之根號2加根號6是多少解 10 3 2 4 6 40 3 2 6 40 6 2 6 2...n 2 n即 1 根號2分之一 根號3分之一根號n分之一的和小於2倍根號n
lim n趨於無窮大 根號下n 1 根號下n根號下n 2 根號下n 1的極限
10倍的根號2乘4分之根號2加根號