1樓：匿名使用者
像 f(x)y'' + g(x)y'＝h(x) 這種形式的微分方程，除了套用通解公式外，一般都可以在方程兩邊乘以某個函式t(x)，湊成 [ u(x)y' ] ' ＝v(x) 的形式，而本題則直接可湊成乘積的導數形式。
解：xy'' + y' -ln(x)＝0
==> xy'' + y' ＝ln(x)
==> ( xy' ) ' ＝ln(x)
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝x ln(x) - x + c₁==> y' ＝ ln(x) - 1 + c₁/x==> y ＝∫ [ ln(x) - 1 + c₁/x ] dx==> y ＝x ln(x) - x －x + c₁ln(x) + c₂
==> y ＝( x+c₁ ) ln(x) - 2x + c₂其中c₁、c₂為任意常數
2樓：老伍
解：由xy'+y=lnx得
d(xy)/dx=lnx
$d(xy)/dx=$lnxdx
xy=xlnx-$x(lnx)`dx
xy=xlnx-x+c
y=lnx-1+c/x
所以 xy'+y=lnx的通解是y=lnx-1+c/x
3樓：仨x不等於四
不管用什麼方法，首先要做的是化簡方程。左邊的xy'+y不是一個常係數線性方程，但它有一個特點，就是y的1階導前面的係數就是x的1次方，y的0階導前面係數就是x0次方（也就是常數），這樣的方程，y的n階導前面係數就是x的n次方，稱為尤拉方程。它有一種固定的方法，就是換元，令t=lnx，然後dy/dx=dy/dt×dt/dx=1/x dy/dt，於是，xy'=dy/dt；還可以證明任意正整數n，y對x的n階導再乘以x的n次方，等於y對t的n階導。
最終方程化為dy/dt+y=t
下面就簡單了，先求出這個方程的解y=y(t)，再把t換成lnx就得到y=y(x)的解。
①如果常規方法，就是初等積分法求出齊次方程dy/dt+y=0的通解y=ce^-t=c/x（c∈r，我就不寫具體過程了），然後猜一個非齊次方程的特解出來加上。可以猜非齊次方程的特解是y=at+b，代入方程，有a+at+b=t，所以a=1，b=-1，特解是y=t-1=lnx-1.
最終結果，y=c/x+lnx-1（x>0）。
②常數變易法。既然齊次方程的通解為ce^-t，那麼猜非齊次方程的通解應該是c(t)e^-t（c不是常數了，是一個關於t的函式）。然後帶回方程有c'(t)e^(-t)-c(t)e^(-t)+c(t)e^(-t)=t於是c'(t)=te^t，做個積分就有c(t)=e^t(t-1)+c，最終y=e^t(t-1)e^(-t)+ce^-t=(t-1)+ce^-t換為x表示式為
y=lnx-1+c/x和上面的常規方法結果完全相同。
大概就是這樣，其中有一些過程我沒展示，比如齊次方程怎麼用初等積分法解，這些如果有什麼不清楚的，可以追問。另外不止這兩種方法，還有別的方法，比如積分因子法、樓下的湊全微分方法等等，就不說了。
xy''+y'-lnx=0通解怎麼求啊
4樓：匿名使用者
像 f(x)y'' + g(x)y'＝h(x) 這種形式的微分方程，除了套用通解公式外，一般都可以在方程兩邊乘以某個函式t(x)，湊成 [ u(x)y' ] ' ＝v(x) 的形式，而本題則直接可湊成乘積的導數形式。
解：xy'' + y' -ln(x)＝0
==> xy'' + y' ＝ln(x)
==> ( xy' ) ' ＝ln(x)
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝∫ ln(x) dx
==> xy' ＝x ln(x) - x + c₁==> y' ＝ ln(x) - 1 + c₁/x==> y ＝∫ [ ln(x) - 1 + c₁/x ] dx==> y ＝x ln(x) - x －x + c₁ln(x) + c₂
==> y ＝( x+c₁ ) ln(x) - 2x + c₂其中c₁、c₂為任意常數
5樓：匿名使用者
解：∵xy''+y'-lnx=0
==>xdy'/dx+y'-lnx=0
==>(xdy'+y'dx)-lnxdx=0==>d(xy')-d(xlnx-x)=0 (應用分部積分法)==>∫d(xy')-∫d(xlnx-x)=0 (積分)==>xy'-(xlnx-x)=c1 (c1是積分常數)==>y'=lnx-1+c1/x
∴y=∫(lnx-1+c1/x)dx=xlnx-2x+c1lnx+c2 (應用分部積分法，c2是積分常數)
故此方程的通解是y=xlnx-2x+c1lnx+c2。
xy』』—y』lny』+y』lnx=0這個微分方程通解怎麼求？
6樓：晴天擺渡
xy''-y'lny'+y'lnx=0
y''/y'-lny'/x+lnx/x=0(lny')'=lny'/x-lnx/x
令lny'=u
則du/dx=u/x-lnx/x(*)
先求對應的齊次方程du/dx=u/x
du/u=dx/x，ln|u|=ln|x|+ln|c|即u=cx
由常數變易法，令u=c(x)x
代入方程(*)得c'(x)=-lnx/x²c(x)=-∫lnx/x² dx=∫lnx d(1/x)=lnx/x -∫dx/x²=lnx/x+1/x+c
故方程(*)的通解為u=lnx+1+cx
故lny'=lnx+1+cx
可得y'=x e^(1+cx)
y=∫x e^(1+cx) dx=1/c ∫x d[e^(1+cx)]=1/c xe^(1+cx)-1/c ∫e^(1+cx)dx
=1/c xe^(1+cx)-1/c² e^(1+cx)+c1
求微分方程的通解yyy 2 ，求微分方程的通解yy y 2
令p y 則y pdp dy 代入方程得 ypdp dy p 1 0 ypdp dy p 1 pdp p 1 dy y d p p 1 2dy y 積分 ln p 1 2ln y 2lnc得 p 1 cy 即y cy 1 d cy cy 1 cdx 積分 ln cy cy 1 cx c1微分方程指含...
求齊次型微分方程的通解，齊次微分方程求通解這個是怎麼求的
薇我信 1 令y xt,則y xt t 代入原方程,得y y x ln y x xt t tlnt xt t lnt 1 dt t lnt 1 dx x d lnt 1 lnt 1 dx x ln lnt 1 ln x ln c c是積分常數 lnt 1 cx lnt cx 1 ln y x cx ...
求下列微分方程的通解yyy
我薇號 首先要注意,你寫的in應該是ln,這種完全是低階錯誤顯然這個級數不可能絕對收斂,因為n足夠大時 ln n 2 n 1 n,而sum 1 n已經發散了 然後證明sum 1 n ln n 2 n收斂,也就是條件收斂,這可以用abel dirichlet判別法 令a n 1 n n b n ln ...