1樓：匿名使用者
看了看幾位的討論，出來為樓主說句話，兩位答題的朋友都忽略了一個重要的問題：limu和limv存在是可以推出lim(u+v)或者lim(u-v)存在，但是反過來是不對的，由lim(u-v)存在得不到limu和limv同時存在的結論。最常見的就是「無窮減無窮」的不定型了，不定型可以存在極限，但是分開每一部分都是無窮，沒有極限。
本題就是源自這裡。兩個同時為無窮或者發散的表示式是不能進行普通的加減法代數運算的。極限的四則運算只是針對收斂極限才成立，發散的情況根本沒有這樣的運演算法則，這個不是寫出個表示式，字母形式上可以減就能減的，沒有收斂的前提一切都是不確定的。
我沒有經歷過考研，也不是學基礎數學的，這方面的處理方法和技巧都比較生疏了，暫時沒有想到完整的證明方法，但是可以肯定樓主的判斷是正確的。而且證明的關鍵除了那個極限是a之外，還有f(x)在x=0處連續也是不可缺少的條件。否則就會出現我說的無窮減無窮的不定型問題。
2樓：匿名使用者
證明：當x→0時，2x→0，
所以：lim (f(2x)-f(x))/x =lim /x-0
∵x = 0處f(x)連續，根據導數定義對原式化簡：
原式=2lim(2x→0)[f(2x)-f(0)]/2(x-0) - lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
= 2f'(0) - f'(0) = af'(0) = a
3樓：小飛花兒的憂傷
設t = lim [f(x) - f(0)]/x那麼lim[ f(2x) - f(0)]/2x = t於是lim (f(2x)-f(x))/x = 2t - t = t = a
故lim [f(x) - f(0)]/x極限存在則導數存在，且等於a
4樓：匿名使用者
先宣告一下，這道題我也沒做出來，得到了樓主的大量幫助，順便鄙視一下1樓的，自己不會，還強詞奪理，甚至進行人身攻擊，當真是極品了，如果你真是一個老師的話，那隻能說，中國的教育快要完蛋了。
證明：lim (f(2x)-f(x))/x = a
根據極限的定義有，對任意e>0 ,存在d>0,使得對於任意0<|x| |(f(2x)-f(x))/x| 於是可取一p，滿足0<|p| 這裡，注意到，對任意正整數n有,0<|p/2^n| 分別令 n=1,2,3....代入可得 都有|f(p)-f(p/2)/(p/2) - a| ...|f(p/2^n-1)-f(p/2^n)/(p/2^n) - a| 也就是p/2 * (a-e/2) < f(p) - f(p/2) < p/2 * (a+e/2) ...p/2^n *(a-e/2) < f(p/2^n-1)-f(p/2^n) < p/2^n * (a+e/2) 把上述n項相加可以得到 p * (1 - 1/ 2^n) * (a-e) < f(p) - f(p/2^n) < p * (1 - 1/ 2^n) * (a+e) 由於對任意n都成立，所以可以令在n→無窮大，再利用f的連續性可以得到 p*(a-e) <= f(p) - f(0) <= p*(a+e) 也就是| (f(p)-f(0)) / p - a | <= e/2 由p的任意性可得，lim[f(x)-f(0)] / x = a 這剛好是f在x=0處的導數，所以 f(x)在x=0處可導，且f'(0)=a f(x)在x=0處連續，且lim(x→0)（f(x)/x)=a...... 證明lim(x→0)f 5樓：匿名使用者 永原始的ε-δ語言即可： lim(x→0)（f(x)/x)=a 意思是對任意ε>0 ,存在δ1>0 當0<|x|<δ1時， 有|f(x)/x -a| < εf(x)在x=0處連續 ，則對上述ε，存在δ2>0當0<|x|<δ2時， 有|x| < ε 則對任意的ε>0，取δ=min（δ1，δ2）有|f(x)|=|x[f(x)/x-a] + ax| <= |x[f(x)/x-a]| + |a| |x| <= |x| |f(x)/x-a| + |a| |x| <= ε^2+ |a|ε 因此lim(x→0)f(x)=0 。 當然你可以讓上面的|f(x)/x -a| < ε，|x| < ε取的好一點讓最後結果小於ε，不過結果是一樣的 若f(x)在x=0處連續，若lim(x→0)[f(x)-f(-x)]/x存在，證明f(0)=0中 6樓：一個人郭芮 都已經說了 lim(x→0)[f(x)-f(-x)]/x存在顯然分母趨於0 那麼如果極限值存在 分子當然也要為0 這是極限值的基本性質 宋愛景介環 解 1 f x x x 0 x x 0易求的f x 在x 0的左導數為 1，右導數為1左右導數不相等，故在x 0處不可導 2 limx 0 f x 0 1 1 f 0 0limx 0 f x 0 1 1 f 0 0 f x 在x 0，既不左連續，也不右連續 x 0為f x 的間斷點 紀誠... 郯仁鮑若英 f x x 2d x d x 就是dirichlet函式,有理點為1,無理點為0.則f 0 lim f x f 0 x 0 0,f在0可導,但f x 在0連續,在不等於0的任意地方都不連續. 茹翊神諭者 顯然是錯的，詳情如圖所示 導數與微分是微分學的兩個重要概念，研究函式的各種性態以及函... 漁舟唱晚 不一定，只能保證右極限存在，左極限不能保證。 低言淺唱情詩 證明 由 x 0 limg x x 1 極限為 1,分母趨於0,則分子必趨於0 可知 x 0 limg x 0 即g 0 0於是 x 0 lim g x g 0 x 0 1則g x 在該鄰域內可導且g 0 1 x 0 limf x...設函式f x 在x 0處可導，討論函式f x 在x 0處
若函式f x 在點x0處可導,則f x 在點x0的某鄰域內必
已知f x 在x 0的某個鄰域內連續,且limx 0f x 1 cosx 2,則在x 0處