1樓：
先求收斂半徑r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1然後，檢驗x=1，∑(n=0,∞) (n+1)明顯發散檢驗x=-1，∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明顯發散因此，收斂域為(-1,1)
令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n在(-1,1)內，根據逐項積分：
∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt)
=∑(n=0,∞) (x^(n+1))
=x+x^2+……+x^n+……
=x/(1-x)
再根據逐項求導：
[∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]'
f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2因此，∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2，x∈(-1,1)
有不懂歡迎追問
2樓：周君明
x必需分開討論x>=1時發散，0 和函式：先求x^（n+1）的和函式再對x求導 求冪級數∑(n=0,∞) ,(n+1)x^(n+1)的收斂域及和函式 3樓：鬱悶中 先求收斂半徑r=lim(n→∞) (n+1)/(n+2)=1然後，檢驗x=1，∑(n=0,∞) (n+1)明顯發散檢驗x=-1，∑(n=0,∞) (-1)^n*(n+1)明顯發散因此，收斂域為(-1,1) 令f(x)=∑(n=0,∞) (n+1)*x^n在(-1,1)內，根據逐項積分： ∫(0,x) f(t) dt=∫(0,x) (∑(n=0,∞) (n+1)*t^n) dt=∑(n=0,∞) (∫(0,x) (n+1)*t^n) dt) =∑(n=0,∞) (x^(n+1)) =x+x^2+……+x^n+…… =x/(1-x) 再根據逐項求導： [∫(0,x) f(t) dt]'=[x/(1-x)]' f(x)=(1-x+x)/(1-x)^2=1/(1-x)^2因此，∑(n=0,∞) (n+1)*x^n=1/(1-x)^2，x∈(-1,1) 有不懂歡迎追問 求冪級數∑(∞ ,n=1)x^n/n（n+1）的收斂半徑及收斂域及其和函式 4樓：匿名使用者 解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，∴收斂半徑r=1/ρ=1。 又lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/r<1，∴丨x丨<1，即-1 而當x=-1時，是交錯級數，級數為∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1)，而後者收斂；當x=1時，收斂。 ∴收斂區間為-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。 求冪級數∑(∞,n=1)n(n+1)x^n的在其收斂域的和函式 5樓：墨汁諾 設其和函式為f(x),xf(x)就變成(x^n+1)/n+1的冪級數，對新的冪級數逐項求導。 顯然由比bai值審斂法易知其收斂域為(-1,1)∑du(n+1)/n(x^n)=∑(1+1/n)*x^n=∑x^n+∑(1/n)*x^n=x/(1-x)+∑(1/n)*x^n 令f(x)=∑(1/n)*x^n 則f′(x)=∑x^(n-1)=1/(1-x)所以f(x)=∫(上daox,下0)1/(1-x)dx=-ln(1-x) 所以∑(n+1)/n(x^n)=x/(1-x)-ln(1-x) 6樓： 後項比前項的絕對值的極限=|x| 收斂域：|x|<1 級數∑(n=1,∞)x^(n+1)=x^2/(1-x)=-1-x+1/(1-x) 兩邊求導： ∑(n=1,∞)(n+1)x^(n)=x^2/(1-x)=-1+1/(1-x)^2 再求導： ∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n-1)=x^2/(1-x)=2/(1-x)^3 所以：∑(n=1,∞)n(n+1)x^(n)=2x/(1-x)^3 |x|<1 求冪級數∑(∞ ,n=0)x^n/n+1的收斂半徑及收斂域 7樓：匿名使用者 解：∵ρ62616964757a686964616fe58685e5aeb931333431353865=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n(n+1)/[(n+1)(n+2)]=1，∴收斂半徑r=1/ρ=1。 又lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/r<1，∴丨x丨<1，即-1而當x=-1時，是交錯級數，級數為∑(-1)^n/[n(n+1)]≤∑1/[n(n+1)，而後者收斂；當x=1時，收斂。 ∴收斂區間為-1≤x≤1，即x∈[-1,1]。 將一個收斂半徑是正數的冪級數的變數取為複數，就可以定義一個全純函式。收斂半徑可以被如下定理刻畫： 一箇中心為 a的冪級數 f的收斂半徑 r等於 a與離 a最近的使得函式不能用冪級數方式定義的點的距離。 到 a的距離嚴格小於 r的所有點組成的集合稱為收斂圓盤。 最近點的取法是在整個複平面中，而不僅僅是在實軸上，即使中心和係數都是實數時也是如此。例如：函式 如果冪級數在 a附近可展，並且收斂半徑為 r，那麼所有滿足 |z a| = r的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。 例 1: 函式 (z) = (1 z) 在z= 0 處的冪級數收斂半徑為1，並在收斂圓上的所有點處發散。 例 2: 函式 g(z) = ln(1 z) 在z= 0 處的冪級數收斂半徑為1，在z= 1 處發散但除此之外，在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函式 (z) 是 -g(z) 的復導數。 8樓：機智的墨林 點評：先求收斂半徑，再求收斂域，在判斷端點時為交錯級數，所以運用萊布尼茨定理即可 迷路明燈 x n n x n 1 利用導數去除變數係數 1 x x n 1 2 ndx根據和函式下限算出和函式然後算積分 先求收斂區間再求和，利用和函式的可積性 茹翊神諭者 詳情如圖所示 有任何疑惑，歡迎追問 n n 1 x n要先求n n 1 x n 2 的和函式因為n n 1 x n 2 是x ... 冪級數 1 n x n 2 n x 2 n是公比為 x 2的等比級數，當 x 2 1時絕對收斂，當 x 2 1時發散，所以收斂半徑是2，收斂區間與收斂域都是 2,2 冪級數 3 n x n 3x n是公比為3x的等比級數，當 3x 1時絕對收斂，當 3x 1時發散，所以收斂半徑是1 3，收斂區間與收... 比值判別法呀。1 lim n趨向 a n 1 an 1時，即lim 3 n 1 5 n 1 n 3 n 5 n n 1 x 1，所以5 x 1，即 x 5，此時收斂 2 lim n趨向 a n 1 an 1時，即lim 3 n 1 5 n 1 n 3 n 5 n n 1 x 1，所以5 x 1，即 ...求冪級數x（n 1）n2 n的和函式
求級數n 1n 2 x n 3 的和函式
冪級數收斂性，符號上面是下面是n 13 n 5 n