廣義積分收斂性 0x m 1 x n dx m,n

時間 2021-09-08 15:28:06

1樓:滕雲德曾鸞

解:分享一種解法,借用「貝塔函式【b(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)]dx,a>0,b>0時,收斂】」求解。

設t=x^n/(1+x^n),∴x=[t/(1-t)]^(1/n),∴原式=(1/n)∫(0,1)[t^(m/n+1/n-1)](1-t)^(-m/n-1/n)dt。

∴由貝塔函式的定義,當m/n+1/n>0、1-m/n-1/n>0,即m>-1、n-m>1時,積分收斂。

供參考。

2樓:封雪惲詩

1/x^x=x^(-x)=e^(-xlnx)=求和(n=0到無窮)(-1)^n(xlnx)^n/n!,

由於(xlnx)'=lnx+1,因此xlnx在[0,1]上的最小值是-1/e,最大值是0,

於是|xlnx|/n!<=1/(n!*e),級數一致收斂,可逐項積分。

而積分(從0到1)(xlnx)^ndx=積分(從0到1)(lnx)^nd(x^(n+1)/(n+1))

=(lnx)^n*x^(n+1)/(n+1)|上限1下限0-n/(n+1)*積分(從0到1)x^n*(lnx)^(n-1)dx

=...=(-1)^n*n/(n+1)*(n-1)/(n+1)*....*1/(n+1)。

因此通項的積分是1/(n+1)^(n+1)。

故積分(從0到1)dx/x^x=求和(n=0到無窮)1/(n+1)^(n+1),結論成立。

求∫(0 ∞)x^m/(1+x^n)dx(m,n≥0)的斂散性,請儘量詳細點,謝謝

3樓:

解:分享一種解法,借用「貝塔函式【b(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)]dx,a>0,b>0時,收斂】」求解。

設t=x^n/(1+x^n),∴x=[t/(1-t)]^(1/n),∴原式=(1/n)∫(0,1)[t^(m/n+1/n-1)](1-t)^(-m/n-1/n)dt。

∴由貝塔函式的定義,當m/n+1/n>0、1-m/n-1/n>0,即m>-1、n-m>1時,積分收斂。

供參考。

如何求證:0到1的定積分x^m(1-x)^ndx=0到1的定積分x^n(1-x)mdx

4樓:匿名使用者

只需要令t=1-x就行了,在這裡會答,不能打積分符號,沒法打過程.

5樓:匿名使用者

^^證明:

令dux=1-t,則dx=-dt,當x=1,t=0,當x=0,t=1∫zhi(0,1)x^daom(1-x)^ndx=-∫(1,0)(1-t)^m(t^n)dt=∫(0,1)(1-t)^m(t^n)dt=∫(0,1)(1-x)^m(x^n)dx命題成立

高等數學 求解(標題的題目不大清晰,具體看內容) ∫(01)x^m(1-x)^n = ∫(01)x^n(1-x)^m

6樓:匿名使用者

用二項式定理把括號都開啟

在把前面x 乘進去發現定積分裡面的式子是一樣的就ok了

具體過程也不難

這裡太不好寫就不寫了

7樓:

∫(0,1)x^m*(1-x)^n dx ,令1-x=y= ∫(1,0)(1-y)^m*y^n d(1-y)=-∫(1,0)(1-y)^m*y^n dy=∫(0,1)(1-y)^m*y^n dy=∫(0,1)y^n*(1-y)^m dy=∫(0,1)x^n(1-x)^m dx

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