1樓：天仙玉兔
用積分中值定理，不過積分中值定理的使用條件是在閉區間，所以要稍微繞一下
首先是積分中值定理：若函式 f(x) 在 閉區間 [a, b]上連續,，則在積分割槽間 [a, b]上至少存在一個點 ξ，使下式成立：函式f(x)從a到b的定積分=(b-a)f(ξ)
本題中（b-a）恰好是1，接下來就是怎麼去掉0和1這兩個點了
f(1)=0，假如這c就是1，那麼說明積分值等於0，又由於函式為非負函式，所以積分值必將大於等於零，所以c=1時函式在[0,1]上恆為0，那麼隨便取不是零不是一的數就可以了
接下來考察不恆為0的函式情況，那麼這時c肯定不可能取1了，接下來證明怎麼不取0或者除了0之外還可以取其它值：
1）假設f(0)=0，則同f(1)=0情況一樣，c不等於0，則c必是(0,1)上一點
2）假設f(0)>0，用反證法：假設除了0以外沒有(0,1)上的點滿足，則函式在[0,1]上的最大值為f(0)（這裡用介值定理證明，假設有比f(0)大的值，設為f(a)，由於f(1)=0，根據介值定理，在（a,1）上必存在一點b使得f(b)=f(0)。)
此函式最大值為f(0)，所以積分值必小於等於f(0)。但由於函式不是恆為常數，積分值不可能等於f(0)，與假設矛盾。所以存在c屬於(0,1)，使得f(c)=（積分0到c）f(t)dt
證畢，沒用很規範的數學語言，請見諒
2樓：
運用拉格朗日中值定理來做
已知函式f(x)在[0,1]連續,在(0,1)可導,且f(1)=0,證明在(0,1)內至少存在一點ξ,使f(ξ)的導數=-f(ξ)/ξ
3樓：暗香沁人
證明:設g'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) ，f(ξ)的原函式為f(ξ)+c
則g(ξ)=f(ξ)*ξ+f(ξ)+c
因為 g（0）=f(ξ)+c g（1）=f(ξ)+c 所以g（0）=g（1）
所以 g（x）滿足羅爾定理的條件
故，在( 0， 1 ) 存在一點ξ，使 g'(ξ)=0所以g'(ξ)=f'(ξ)*ξ+ f(ξ) =0， 即 f'(ξ)=-f(ξ)/ξ
4樓：沉淪糾結婷
令g(x)=xf(x) 則g(x)在[0，1]上連續，在（0，1）內可導 ，且g（1）=0=g(0) 由羅爾中值定理 知有一點a屬於（0，1） 使得 g`(a)=0 0=g`(a)=f(a) af`(a) 即f`(a)=-f（a）/a。
這才是正確答案！！！4
5樓：大鋼蹦蹦
考慮函式f(x)=x*f(x)，f(1)=0,f(0)=0,對f(x)用羅爾定理即可。
設fx在[0,1]上連續在(0,1)內可導且f(1)=0證明存在一點ξ屬於(0,1)使2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
6樓：寂寞的楓葉
證明：令g(x)=x^2，g(x)=g(x)*f(x)。
因為f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，且g(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，那麼g(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導。
且g(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'
=x^2f'(x)+2xf(x)
而g(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0g(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0，即g(0)=g(1)，
那麼在(0,1)記憶體在一點ξ，使g(x)'=0即g(ξ)'=0
ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0，又ξ≠0，則ξf'(ξ)+2f(ξ)=0
7樓：
建構函式f(x)=x²f(x)，則f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，f(0)=f(1)=0，由羅爾定理，存在一點ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=0。
f'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。
所以，2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0，所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
8樓：你愛我媽呀
證明過程如下：
設g(x)=xf(x)，
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導且g(0)=g(1)，由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
9樓：匿名使用者
證明：設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設函式f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（0）f（1）＜0．求證：存在ξ∈（0，1），使得ξf′
10樓：手機使用者
令g（x）=x2e-xf（x）du，zhi則g（x）在[0，1]上連續dao，在（回0，1）內可導，且答
g′（x）=xe-x[xf′（x）+（2-x）f（x）]．因為f（0）f（1）＜0，
由連續函式的零點存在定理可得，?c∈（0，1）使得f（c）=0，從而g（c）=0．
又因為g（0）=0，
故對函式g（x）在區間[0，c]上利用羅爾中值定理可得，存在ξ∈（0，1），使得g′（ξ）=0，
即：ξe-ξ[ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）]=0．又因為ξe-ξ≠0，
故ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．
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