1樓：電燈劍客
看上去你知道結論但不會嚴格證明，樓上幾位提供的證明從嚴謹性上講也確實有所不足，我給你演示一下，希望你能明白一些細微地方的技術運用。
首先，當x!=0時，f的n階導數為
f^(x) = exp(-1/x^2)p_n(1/x)，
其中p_n(t)是一個3n次多項式，這一步用歸納法證明，p_n可由遞推關係p_(t) = t^2 p_n'(t) + 2t^3 p_n(t)確定。
下一步證明對任何實數k>0，lim exp(-1/x^2) / x^k = 0 （當然k<=0也對，只是這裡沒用）
這一步不要蠻幹，先做變數替換t=1/x^2，轉化成 t^ / exp(t)，然後用l'hospital法則求[k/2]+1次就行了。
注意把exp(...)或ln(...)化成exp(t)或ln(t)通常會極大地簡化需反覆使用l'hospital法則的證明，這樣比較有說服力。
然後利用第2步的結論可以立即推出n>=1時lim f^(x) = 0以及f^(0) = lim [f^(x)-0]/x = 0，也就是說f^(x)在0點連續、f^(0)存在且為0（這裡也需要逐步遞推，因為需要f^(0)=0及連續性才能繼續討論f^(0)）。
當然，如果要非常嚴謹的證明，對於各處歸納法的使用都要注意驗證歸納基礎，這樣邏輯上才是完整的。
2樓：藍色衣服的黑熊
答案如下，希望能採納，花了好長時間做的，雖然不完美，但是至少能讓你明白f(x)在0處的任意階導數值為0
3樓：匿名使用者
df/dx |x=0 = lim (exp(-1/x^2) -0)/x = lim (exp(-1/x^2)/x
顯然等於0，但是這個證明就難了
4樓：匿名使用者
只能用定義球：顯然連續
導數f'(0)=lim(f(x)-f(0)）/x=(換元，令t=1/x)
=lim(t/exp(-t^2))=0
x!=0,f'(x)=2/x^3*exp(-1/x^2)導數f''(0)=....=0 如上（換元,t=1/x)................
任意階導數值=0
e的x次方的影象是怎麼畫的？
5樓：女寢門後賣香蕉
y等於e的x次方是一種指數函式，其影象是單調遞增，x∈r，y>0，與y軸相交於（0,1）點，影象位於x軸上方，第二象限無限接近x軸，如下圖所示：
6樓：匿名使用者
取值描點，將x取值，算出y值，最後將點連起來如圖e的x次方可以先把它當做一般的指數函式來畫，與 y軸交點為1，單調增加。並且這條曲線 與 y=x+1 正好切與(0，1)。
拓展資料:
（1）y=e^x，e＞1是指數函式。影象過（0，1）點，在x軸上方，單調遞增，以x軸為漸近線。
（2）y=e^（-x）= （1/e）^x=1/ e^x恰為y=e^x的倒數。e^x* e^（-x）= e^0=1其影象與y=e^x的影象關於y軸對稱。
（3）y=e^│x│= e^x（x≥0）和e^（-x）（x＜0）是分段函式。其影象為：
當x≥0時，取y=e^x的右半部分；當x＜0時，取y=e^（-x）的左半部分。這樣一來，在（0，1）點，影象是一個尖，並不平滑。
7樓：奧媛
增函式，過（0,1）點，位於x軸上方，第二象限無限接近x軸。
拓展資料：
一、畫法：
1、首先畫出x軸與y軸，經過（0,1）點；
2、在第二象限起點畫，接近與y軸，屬於增函式。呈上升趨勢。
二、介紹：
1、指數函式的一般形式為y=a^x(a>0且≠1) (x∈r). 它是初等函式中的一種。
2、它是定義在實數域上的單調、下凸、無上界的可微正值函式a=e指數函式是數學中重要的函式
3、應用到值 e 上的這個函式寫為 exp(x)。還可以等價的寫為 e，這裡的 e 是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.718281828。
4、是一個無限不迴圈小數，而指數趨向無窮大，底數越來越接近1。
8樓：宋周文勇
y等於e的x次方是一種指數函式，其影象是單調遞增的。具體如下圖
拓展資料：
指數函式是重要的基本初等函式之一。一般地，y=a^x函式(a為常數且以a>0，a≠1)叫做指數函式，函式的定義域是 r 。
指數函式是數學中重要的函式。應用到值e上的這個函式寫為exp(x)。還可以等價的寫為e^x，這裡的e是數學常數，就是自然對數的底數，近似等於 2.
718281828，還稱為尤拉數。
基本性質：
（1） 指數函式的定義域為r，這裡的前提是a大於0且不等於1。對於a不大於0的情況，則必然使得函式的定義域不連續，因此我們不予考慮，同時a等於0函式無意義一般也不考慮。
（2） 指數函式的值域為(0， +∞)。
（3） 函式圖形都是上凹的。
（4） a>1時，則指數函式單調遞增；若0（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向於無窮大的過程中（不等於0）函式的曲線從分別接近於y軸與x軸的正半軸的單調遞減函式的位置，趨向分別接近於y軸的正半軸與x軸的負半軸的單調遞增函式的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。
（6） 函式總是在某一個方向上無限趨向於x軸,並且永不相交。
（7） 指數函式無界。
（8）指數函式是非奇非偶函式。
（9）指數函式具有反函式，其反函式是對數函式，它是一個多值函式。
9樓：啾啾啾蕎芥
這個高速的夾在書上沒有，你自己去看一下書
10樓：匿名使用者
增函式，過（0,1）點，位於x軸上方，第二象限無限接近x軸
11樓：藤周芮麗澤
請看**，呵呵
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f 0 f 1 e f x f 1 e x 1 f 0 xf 1 f 1 f 0 1 f 1 f 1 e 1解得f 1 e f 0 1 f x e x x 1 2 x 2 令 f x e x x 1 0 解得 x 0f x e x 1 0,f x 單調遞增x 0 f x 0 f x 單調遞增x 0 ...
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