1樓：匿名使用者
f(0)=0。lim是一種數學術語，表示極限（limit）。由2023年瑞士數學家魯易理(lhuillier)首次引入。
極限是微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。
設函式在點的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數a，對於任意給定的正數（無論它多麼小），總存在正數，使得當x滿足不等式時，對應的函式值都滿足不等式：
|f(x)-a|<ε，
則稱函式f當x趨於+∞時以a為極限，記作
lim f(x) = a 或 f(x)->a(x->+∞)
2樓：
ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³+o(x³)
f(x)=f(0)+f '(0)x+(1/2!)f ''(0)x²+o(x²)
則：xf(x)=f(0)x+f '(0)x²+(1/2!)f ''(0)x³+o(x³)
分子為：
xf(x)-ln(1+x)
=[f(0)-1]x+[f '(0)+(1/2)]x²+[(1/2)f ''(0)-(1/3)]x³+o(x³)
分母為：x³
最終結果為1/3
因此分子沒有一次項：f(0)=1
分子沒有二次項：f '(0)=-1/2
分子三次項係數為1/3：(1/2)f ''(0)-(1/3)=1/3，則f ''(0)=4/3
求極限基本方法有
1、分式中，分子分母同除以最高次，化無窮大為無窮小計算，無窮小直接以0代入；
2、無窮大根式減去無窮大根式時，分子有理化；
3、運用兩個特別極限；
4、運用洛必達法則，但是洛必達法則的運用條件是化成無窮大比無窮大，或無窮小比無窮小，分子分母還必須是連續可導函式。
5、用mclaurin(麥克勞琳)級數，而國內普遍誤譯為taylor(泰勒)。
3樓：我只願得一人心啊
令f'(0)=a=limx→0(f(x)－2)/x=limx→0【f(x)(x+1)－2(x+1)】/x(x+1)=limx→0【f(x)+f'(x)(x+1)－2】/(2x+1)=a，由此拆項得limx→0【f(x)+xf'(x)】/(2x+1)=2
4=limx→0【xf(x)－ln(2x+1)】/【x－ln(1+x)】=limx→0【f(x)+xf'(x)－2/(1+2x)】/【x/(1+x)】=limx→0【f(x)+xf'(x)－2/(1+2x)】【1+1/x】=limx→0【f(x)+xf'(x)－2/(1+2x)】【1+1/x】【1/(1+2x)】=limx→0【(f(x)+xf'(x))/(1+2x)
－2/(1+2x)²+(f(x)+xf'(x))/(x+2x²)－2/(4x³+4x²+x)】=2－2+limx→0【(f(x)+xf'(x))/x－2/(x+2x²)】=limx→0【f(x)/x+f'(x)－2/(x+2x²)】=f'(0)+limx→0【(f(x)(1+2x)－2)/(x+2x²)】=f'(0)+limx→0【(2f(x)+f'(x)(1+2x))/(1+4x)】=2a+2×2=4
即f'(0)=a=0 # attention 未交代二階是否可導，故不可二次使用洛必達法則出現f''(x)
現給出法二:
limx→0【(xf(x)－ln(2x+1))/(x－ln(1+x))】=4 我們將分母(x－ln(1+x))作變形，用等價無窮小替換為x－(x－x²/2+o(x²))=x²/2
那麼2limx→0【(xf(x)－ln(2x+1))/(x²)=4
即limx→0【(xf(x)－ln(2x+1))/(x²)=2
再變形湊f'(0)，limx→0【(xf(x)－xf(0)+xf(0)－ln(1+2x))/x²】=limx→0【(xf(x)－xf(0))/x²】+limx→0【(xf(0)－ln(1+2x))/x²】=2
上述等式等號右邊第一個極限即為所求極限f'(0),等號右邊第二個極限將其洛必達求得為limx→0【(xf(0)－ln(1+2x))/x²】=2
即f'(0)+2=2 則f'(0)=0 #
用洛必達法則求極限limx趨向於0[1/ln(x+1)-1/x]
4樓：小小芝麻大大夢
limx趨向於0[1/ln(x+1)-1/x]的極限等於：1/2。
limx趨向於0[1/ln(x+1)-1/x]=[x-ln(x+1)]/xln(x+1)=[x-ln(x+1)]/x^2 【 ln(x+1)和x是等價無窮小，在x趨於0時】
=[1-1/(x+1)]/2x 【0/0型洛必達法則】=x/2x(x+1)
=1/2
擴充套件資料：極限的求法有很多種：
1、連續初等函式，在定義域範圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函式的極限值就等於在該點的函式值。
2、利用恆等變形消去零因子（針對於0/0型）。
3、利用無窮大與無窮小的關係求極限。
4、利用無窮小的性質求極限。
5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算。
6、利用兩個極限存在準則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限。
7、利用兩個重要極限公式求極限。
5樓：等待楓葉
limx趨向於0[1/ln(x+1)-1/x]的值為1/2。
解：lim(x→
0)(1/ln(x+1)-1/x)
=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*ln(1+x)))
=lim(x→0)((x-ln(1+x))/(x*x)) （當x→0時，ln(1+x)等價於x）
=lim(x→0)((1-1/(1+x))/(2x)) （洛必達法則，同時對分子分母求導）
=lim(x→0)(x/(1+x))/(2x))
=lim(x→0)(1/(2*(1+x)))
=1/2
擴充套件資料：
1、極限的重要公式
（1）lim(x→0)sinx/x=1，因此當x趨於0時，sinx等價於x。
（2）lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e，或者lim(x→∞)(1+1/x)^x=e。
（3）lim(x→0)(e^x-1)/x=1，因此當x趨於0時，e^x-1等價於x。
2、極限運演算法則
令limf(x)，limg(x)存在，且令limf(x)=a，limg(x)=b，那麼
（1）加減運演算法則
lim(f(x)±g(x))=a±b
（2）乘數運演算法則
lim(a*f(x))=a*limf(x)，其中a為已知的常數。
3、洛必達法則計算型別
（1）零比零型
若函式f(x)和g(x)滿足lim(x→a)f(x)=0，lim(x→a)g(x)=0，且在點a的某去心鄰域內兩者都可導，且
g'(x)≠0，那麼lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。
（2）無窮比無窮型
若函式f(x)和g(x)滿足lim(x→a)f(x)=∞，lim(x→a)g(x)=∞，且在點a的某去心鄰域內兩者都可導，且
g'(x)≠0，那麼lim(x→a)f(x)/g(x)=lim(x→a)f'(x)/g'(x)。
6樓：匿名使用者
把1/ln(1+x)-1/x 通分變成[x-ln(1+x)]/[x*ln(1+x)]當x趨於0時,上式為0比0型不定式用洛必達法則,分子分母分別求導變成：[1-1/(1+x)]/[ln(1+x)+x/(1+x)] 上式仍是0比0型不定式 再次求導變成1/(2+x)當x趨於0時 上式極限為1/2 即為所求極限
7樓：
這個題目難處理
的是分子上的e，可以運用洛必達法則，但也可以通過處理後運用等價無窮小代換 下面運用等價無窮小代換 lim(x→0）(((1+x)^(1/x)-e))/x =lim(x→0）(((1+x)^(1/x)/e-1))/(ex) =lim(x→0）/(ex) =lim(x→0）ln(1+...
當x→0時,lim[ln(1+2x)+xf(x)]/x^2=2,求lim[2+f(x)]/x 要求詳細解釋
8樓：匿名使用者
極限可以拆開的前提是兩個函式的極限都存在並且是等價的才可以
9樓：潘祥祥
你的f(x)=?，還有，x->0吧，無論如何，把ln(1+2x)用taylor2x-2x^2+o(x^2),就這樣
設f(x)在x=0處存在二階導數,且lim(x→0)(xf(x)-ln(1+x))/x^3=1/3求f(0),f'(0),f"(0)
10樓：丘冷萱
用洛必達法則做了一下，比較麻煩，還是泰勒公式簡單一些
ln(1+x)=x-(1/2)x²+(1/3)x³+o(x³)
f(x)=f(0)+f '(0)x+(1/2!)f ''(0)x²+o(x²)
則：xf(x)=f(0)x+f '(0)x²+(1/2!)f ''(0)x³+o(x³)
分子為：
xf(x)-ln(1+x)
=[f(0)-1]x+[f '(0)+(1/2)]x²+[(1/2)f ''(0)-(1/3)]x³+o(x³)
分母為：x³
最終結果為1/3
因此分子沒有一次項：f(0)=1
分子沒有二次項：f '(0)=-1/2
分子三次項係數為1/3：(1/2)f ''(0)-(1/3)=1/3，則f ''(0)=4/3
11樓：匿名使用者
可以用洛必達法則做。
設f x 在上二階可導,且fx 0,證明
印油兒 我的證明方法不太好，不過湊合能證出來。由中值定理，f x f x f a x a f c c a，x 對任意x1 x,有 f x1 f x x1 x f c1 c1 x，x1 由於f x 0,所以f c1 f c 即，f x1 f x x1 x f x f a x a 1 證明一個小不等式，...
0上二階可導,f 0 0,f 0 0,fx M0，則方程f x 0在 0不同實根的個數為
f x m 0，所以f x 是增函式，無上界，f 0 0，所以存在x0 0,使得f x0 0,當0x0時f x 0,f x 是增函式。於是f x f x0 f 0 0,所以f x0 0,所以方程f x 0在 0,不同實根的個數為2.注 方程f x 0在 0,不同實根的個數為1. 因為f x m 0，...
已知f 1,y 0,則f 1,y 0對y求一階偏導，為什麼也是零
小貝貝老師 解題過程如下 一階導數性質 當函式定義域和取值都在實數域中的時候，導數可以表示函式的曲線上的切線斜率。如右圖所示，設p0為曲線上的一個定點，p為曲線上的一個動點。當p沿曲線逐漸趨向於點p0時，並且割線pp0的極限位置p0t存在，則稱p0t為曲線在p0處的切線。設f x 在 a,b 上連續...