1樓：匿名使用者
這個題實際上是要說明對於複變函式而言，冪函式可能是多值的。所謂的多值，就是指對於一個自變數z，z^α會有多個取值。在實變函式裡面，這種情況出現得比較少，只有反三角函式會出現多值，而且對這類多值函式取它們的“主值”，這時候多值函式就變成單值函式了。
但是在複變函式裡面，為了考慮方程所有的根，這時候反而希望兼顧函式的所有值，而不是單個的值。在這個題，決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候，2kα必定是偶數，而函式exp(z)是周期函式，所以當自變數相差2πi的整數倍的時候，函式值是相同的，也就是說函式值和整數k無關，所以這個時候是單值的。
當α是有理數的時候，不妨假設α=p/q（既約分數），那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候，2k1α和2k2α之間的差也是偶數，這個時候還是因為exp(z)的週期性，從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候，函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍，也就是說被q除還有餘數，那麼函式值就有可能不同。
因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能，所以會有q個值。這個時候，冪函式z^α是多值函式，且有q個值。當α是無理數的時候，就不滿足整除餘數的週期性了，所以對於不同的k值，就有不同的函式值，因此z^α函式也是多值函式，函式值的個數是可數無窮多個。
2樓：匿名使用者
被積函式的分子、分母部分均為整函式，分母的零點即為函式的奇點。
cos z的零點為π/2±kπ（k是整數），所以cos z在積分迴路內、邊界上均不含奇點，即被積函式在包含積分路徑的某個區域內解析（如|z|<1.1），所以在迴路上的積分為0.答案自然就選b了。
複變函式問題？
3樓：電燈劍客
這裡用的是一階導數的cauchy積分公式, (sinz)'=cosz在pi/2處為0, 所以結果就是0, 不用管前面差一個2*pi*i的倍數
一個複變函式問題
4樓：黃徐升
3^(3-i)=3^3*3^(-i)
=27*e^[ln(3)*(-i)]
=27*e^
=27*
=27*
複變函式的問題
5樓：徐少
解析：//尤拉公式(推導省略)：
sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2～～～～～～～～～～～～～～～
設arctanz=θ，則tanθ=z
sinθ/cosθ=z
[e^(iθ)-e^(-iθ)]/[e^(iθ)+e^(-iθ)]=z/1
[2e^(iθ)]/[2e^(-iθ)]=(1+z)/(1-z)e^(2iθ)=(1+z)/(1-z)
ln[e^(2iθ)]=ln[(1+z)/(1-z)]2iθ=ln[(1+z)/(1-z)]
θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]此為公式：
arctanz=θ⇒θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
ps：//很早就看到你的問題了//
//早已收藏，忙，未回答//
//等比定理：
a/b=c/d⇒[(b+a)/(b-a)]=[(d+c)/(d-c)]
6樓：韜子活寶
cosz=（e^iz+e^-iz）/2,sinz=（e^iz-e^-iz）/i2,tanz=sinz/cosz,設z=cosw,那麼稱w為z的反餘弦函式,記作w=arccosz.由z=cosw==（e^iw+e^-iw）/2,得e^2iw-2ze^iw+1=0,方程的根為e^iw=z+根號（z^2-1）,兩邊取對數得arccosz=-iln（z+根號（z^2-1））.用上面同樣的步驟可得到arctanz=-i/2ln【(1+iz)/(1-iz)】.
7樓：端禎青麗雅
並不是任何f(x,y)形式的函式都可以化成f(z)形式的式子。
例如:x+y.
x-iy,
2x+iy
等等。都不能化成f(z)的形式。
但是如果這個f(x,y)的確是z=x+iy的一個函式，那麼就可以用你的老師給你的
方法直接寫出來了。這是因為:假如f(x,y)=g(z)=g(x+iy).
在g(x+iy)中令y=0,得到g(x).把這個g(x)中的x換成z.就是g(z)
即:g(x+iy)中令y=0，x換成z.就得到g(z)。
注意f(x,y)=g(x+iy).
所以f(x,y)中令y=0，x換成z.就得到g(z)。[f(x,y)的z表示式!]。
(本題例子g(z)=i(2z-z²).如果你不怕麻煩，可以用x=z-iy.代入原式。
化簡之後，含y的項都會消去，最後只留下i(2z-z²).)
8樓：改然錢如之
不可能，因為連續性導致f(0)=0,
然而解析函式0點都是孤立的(這是一個定理，需要使用級數表示式證明)，也就不可能在z=0附近有無窮多的零點。
9樓：騰秀榮夕衣
這個題實際上是要說明對於複變函式而言，冪函式可能是多值的。所謂的多值，就是指對於一個自變數z，z^α會有多個取值。在實變函式裡面，這種情況出現得比較少，只有反三角函式會出現多值，而且對這類多值函式取它們的“主值”，這時候多值函式就變成單值函式了。
但是在複變函式裡面，為了考慮方程所有的根，這時候反而希望兼顧函式的所有值，而不是單個的值。在這個題，決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候，2kα必定是偶數，而函式exp(z)是周期函式，所以當自變數相差2πi的整數倍的時候，函式值是相同的，也就是說函式值和整數k無關，所以這個時候是單值的。
當α是有理數的時候，不妨假設α=p/q（既約分數），那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候，2k1α和2k2α之間的差也是偶數，這個時候還是因為exp(z)的週期性，從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的，因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候，函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍，也就是說被q除還有餘數，那麼函式值就有可能不同。
因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能，所以會有q個值。這個時候，冪函式z^α是多值函式，且有q個值。當α是無理數的時候，就不滿足整除餘數的週期性了，所以對於不同的k值，就有不同的函式值，因此z^α函式也是多值函式，函式值的個數是可數無窮多個。
10樓：光蘭有昭
（u,v應該分別是f(z)的實部和虛部吧）由條件知au(x,y)+bv(x,y)=c。
兩邊對x求偏導，得a(∂u/∂x)+b(∂v/∂x)=0；
兩邊對y求偏導，得a(∂u/∂y)+b(∂v/∂y)=0。
而由f解析，由cauchy-riemann定理知∂u/∂x=∂v/∂y，∂u/∂y=-∂v/∂x，所以方程成為
a(∂u/∂x)-b(∂u/∂y)=0；
b(∂u/∂x)+a(∂u/∂y)=0。
其中a,b不全為零，易解得∂u/∂x=∂u/∂y=0，所以u是常數；
再由cauchy-riemann定理知∂v/∂x=∂v/∂y=0，所以v是常數。
所以f(z)是常數。證畢
複變函式題目求解
11樓：勤奮的
復解析函式其實就是可以在某個區域泰勒，這種多項式形式的顯然是解析的。它的導數就是平常的求導。f'(z)=-3+10 z。
12樓：松茸人
複變函式，是指以複數作為自變數和因變數的函式[1] ，而與之相關的理論就是複變函式論。解析函式是複變函式中一類具有解析性質的函式，複變函式論主要就是研究複數域上的解析函式，因此通常也稱複變函式論為解析函式論。
複數的概念起源於求方程的根，在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡，人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展，這類數的重要性就日益顯現出來。
復變數復值函式的簡稱。設a是一個複數集，如果對a中的任一複數z，通過一個確定的規則有一個或若干個複數w與之對應，就說在複數集a上定義了一個複變函式，記為
w=ƒ(z)
這個記號表示，ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。如果記z=x+iy,w=u+iv，那麼複變函式w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y)；所以一個複變函式w=ƒ(z)就對應著一對兩個實變數的實值函式。除非有特殊的說明，函式一般指單值函式，即對a中的每一z，有且僅有一個w與之對應。
例如，f(z)=
是複平面上的複變函式。但f(z)=
在複平面上並非單值，而是多值函式。對這種多值函式要有特殊的處理方法（見解析開拓、黎曼曲面）。
對於z∈a,(z)的全體所成的數集稱為a關於的像，記為(a)。函式規定了a與(a)之間的一個對映。例如在w=z2的對映下，z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應；如果(a)∈a*，稱把a映入a*。
如果(a)=a*，則稱把a映成a*，此時稱a為a*的原像。對於把a映成a*的對映，如果z1與z2相異必導致(z1)與(z2)也相異，則稱是一對一的。在一對一的對映下，對a*上的任一w，a上必有一個z與之對應，稱此對映為的反函式，記為
z=ƒ-1(w)
設(z)是a上的複變函式，α是a中一點。如果對任一正數ε，都有正數δ，當z∈a且|z-α|<δ時，|(z)-(α)|<ε恆成立，則稱(z)在α處是連續的，如果在a上處處連續，則稱為a上的連續函式或連續對映。設是緊集a上的連續函式，則對任一正數ε，必存在不依賴自變數z的正數δ，當z1，z2∈a且|z1-z2<δ時|(z1)-(z2)|<ε恆成立。
這個性質稱為(z)在a上的一致連續性或均勻連續性。
設(z)是平面開集d內的複變函式。對於z∈d，如果極限存在且有限，則稱(z)在z處是可導的，此極限值稱為(z)在z處的導數，記為'(z)。這是實變函式導數概念的推廣，但複變函式導數的存在卻蘊含著豐富的內容。
這是因為z+h是z的二維鄰域內的任意一點，極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。一個複變函式如在z的某一鄰域內處處有導數，則該函式必在z處有高階導數，而且可以展成一個收斂的冪級數（見解析函式）。所以複變函式導數的存在，對函式本身的結構有重大影響，而這些結果的研究，構成了一門學科──複變函式論。
希望我能幫助你解疑釋惑。
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