1樓：一10萬個為什麼
垂 心三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。
銳角三角形垂心在三角形內部。
直角三角形垂心在三角形直角頂點。
鈍角三角形垂心在三角形外部。
垂心是高線的交點
垂心是從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線的交點。
三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
三角形上作三高，三高必於垂心交。
高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角有十二，構成六對相似形，
四點共圓圖中有，細心分析可找清，
證明如圖，雖然「角」的符號成了亂碼，但大家應該能看懂。cf為要證的高；兩個角（doc與bad）相等後利用相似證，此部分從略。直角三角形的情況，直角頂點顯然是垂心；鈍角——大家沒發現三角形obc垂心就是a嗎？
垂心的重心座標反而比外心簡單一點。先計算下列臨時變數（與外心一樣）：
d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心座標：( c1/c，c2/c，c3/c )。
垂心的向徑
設點h為銳角三角形abc的垂心，向量oh=h，向量oa=a，向量ob=b，向量oc=c，
則h=(tana a +tanb b +tanc c)/(tana+tanb+tanc).
重心重心是三角形三邊中線的交點，三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。證明過程又是塞瓦定理的特例。
重心的幾條性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)；空間直角座標系——橫座標：(x1+x2+x3)/3 縱座標：(y1+y2+y3)/3 豎座標：
（z1+z2+z3）/3
5、三角形內到三邊距離之積最大的點
內心內心是三角形三條內角平分線的交點，即內切圓的圓心。
內心是三角形角平分線交點的原理：經圓外一點作圓的兩條切線，這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點到角兩邊距離相等）。
內心定理：三角形的三個內角的角平分線交於一點。該點叫做三角形的內心。
注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。
若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。
希望對你有幫助！
2樓：匿名使用者
三角形五心定律
三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內心定律，旁心定律的總稱。
一、三角形重心定律
三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做作三角形的重心。三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。
（重心原是一個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其重心座標為（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3）/3)。
二、三角形外心定律
三角形的三條邊的垂直平分線交於一點。此點為該三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。注意到外心到三角形的三個頂點距離相等。結合垂直平分線定義，此結論其實極好證。
外心的性質：
1、若o是△abc的外心，則∠boc=2∠a（∠a為銳角或直角）或∠boc=360°-2∠a（∠a為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心與斜邊中點重合。
4、計算外心的重心座標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
三、三角形垂心定律
三角形的三條高（所在直線）交於一點。該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心o、重心g和垂心h三點共線，且og∶gh=1∶2。（此直線稱為三角形的尤拉線（euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定律證明
已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f ，求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab
因此，垂心定律成立！
四、三角形內心定律
三角形的三條內角平分線交於一點。該點叫做三角形的內心，即三角形內切圓的圓心。注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定律其實極易證。
性質：若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。
五、三角形旁心定律
三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做旁心。
性質：每個三角形都有三個旁心。
它到三邊的距離相等。
如圖，點m就是△abc的一個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。一個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。
有關三角形五心的詩歌
三角形五心歌（重外垂內旁）
三角形有五顆心，重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混．
重 心三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為「重心」，重心性質要明瞭，
重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好．
外 心三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點．
此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵．
垂 心三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清.
內 心三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做「內心」有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱「內心」如此定義理當然．
參考資料
三角形中線、角平分線、高線的性質特點及其他們各自交點的特點
3樓：匿名使用者
三角形共有五copy心：
內心：三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心。
性質：到三邊距離相等。
外心：三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。
性質：到三個頂點距離相等。
重心：三條中線的交點。
性質：三條中線的三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離的2倍。
垂心：三條高所在直線的交點。
性質：此點分每條高線的兩部分乘積
旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點性質：到三邊的距離相等。
三角形的角平分線，高，中線的交點分別是什麼心？
4樓：
三角形三條中線、高、角平分線的交點分別叫重心、垂心、內心。
重心——三角形的三條中線的交點，重心將中線長度分成2：1；
垂心——三角形的三條垂線的交點，垂線與對應邊的向量積為0；
內心——三角形的三個內角角平分線的交點（三角形內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；
擴充套件資料
一、三角形的高
（1）定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做這條邊上的高
（2）作圖語言：過點a作ad⊥bc於點d（d就是垂足，ad叫垂線段）
（3）推理語言：∵ad是△abc的高∴ad⊥bc（或∠adb=∠adc=90°）
（4）垂心：三角形的三條高所在直線的交點，叫垂心
（5）不同三角形的高和垂心
銳角三角形：三條高都在三角形的內部，垂心也在內部；
鈍角三角線：兩條高在三角形外部，另一條在三角形內部，垂心在外部；
直角三角形：兩條高與直角邊重合，另一條在三角形內部，垂心為直角頂點。
（6）三角形的面積：三角形的面積公式：s=1/2底×高
二、三角形的中線
（1）定義：三角形中，連線一個頂點和它對邊的中點，所得線段叫做這條邊上的中線
（2）作圖語言：取bc邊的中點d，連線ad
（3）推理語言
∵ad是△abc的中線
∴bd=dc=1/2bc
（或bc=2bd=2dc）
（4）重心：三角形的三條中線的交點，叫重心
（5）不同三角形的中線和重心：所有三角形的中線和重心都在三角形內部
（6）重心的性質
①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1
以中線ad為例，其他一樣成立
ao：od=2:1
ao=2od
od=1/2ao
od=1/3ad
ao=2/3ad
②重心和三角形3個頂點組成的三個三角形面積相等
即：△aob的面積=△aoc的面積=△boc的面積
(證明方法用到重心性質①，感興趣的同學可以嘗試證明)
三、三角形的角平分線
（1）定義：三角形一個角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段，叫做該三角形的角平分線
（2）作圖語言：過點a作∠bac的角平分線ad，交bc於點d
（3）推理語言
∵ad是△abc的角平分線
∴∠1=∠2=1/2∠bac
（4）內心：三角形三條角平分線的交點，叫內心。
（5）不同三角形的角平分線和內心：所有三角形的角平分線和內心都在三角形內部。
（6）內心的性質：內心到三角形各邊的距離相等。
三角形內角平分線性質定理 三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例
已知 如圖1，abc中，ad是 bac的角平分線。求證 bd dc ab ac 1 證明 過c做ce da，交ba的延長線於e 完成以下證明過程 因為ce da,所以 1 e，2 3，因為 1 2 角平分線的定義 所以 3 e，所以ae ac 等腰三角形的性質 由ce da，可知 ebc abd，所...
三角形的中線有什麼特點 有多少條 角平分線有什麼特點呢 有多少條
三角形的中線平分邊長?有3條 角平分線內角平分線的兩邊與角平分線分割的對邊對應成比例?有6條，3個內角平分線，3個外角平分線 三角形中線是一邊中點和一個頂點的連線,有三條,三條中線交於一點,這個點叫三角形的重心。重心分中線的比為 2 1 三條內角平分線也交於一點，叫三角形的內心，也是三角形內接圓的圓...
三角形的角平分線和中線重合，能否證明其是等腰三角形？如果能，給出證明過程若不能，舉出反例
熊貓京京呀 可以證明的，有很多回答 那個滿意回答欠妥，對於一般的兩個三角形兩邊及非兩邊夾角的角相等，確實不能證明全等，但是這裡這兩個三角形很特殊，兩個相等兩邊的夾角和為180度，所以，可以證明相等。 abc中，ad是中線和角分線 延長ad到e,使de ad連be ce則 abec是平行四邊形ae是角...