1樓:忘情
中位線是一個數學術語,至平面幾何內的三角形任意兩邊中點的連線或梯形兩腰中點的連線。
連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線,三角形的中位線平行於第三邊並且等於第三邊邊長的一半。
連線梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線,梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半。
一、三角形中位線的性質
1、平行於三角形的第三邊,且等於第三邊的一半;
2、任何一個三角形都有三條中位線,而三條中位線組成的小三角形周長為原三角形周長的一半;
3、三條中位線將三角形分成四個全等的小三角形;
4、三角形的中位線和它相交的中線相互平分;
5、任意兩條中位線的夾角等於這個夾角對應的頂角大小。
二、梯形中位線性質
1、梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半。
2、梯形中位線的2倍乘高再除以二就等於梯形的面積,用符號表示是l。
2樓:牙刷說
1.中位線概念
(1)三角形中位線定義:連線三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 (2)梯形中位線定義:
連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。 注意: (1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開。
三角形中線是連結一頂點和它對邊的中點,而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段。 (2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段。 (3)兩個中位線定義間的聯絡:
可以把三角形看成是上底為零時的梯形,這時梯形的中位線就變成三角形的中位線。
編輯本段2.中位線定理
(1)三角形中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半. 如圖,三角形兩邊中點的連線(中位線)平行於第bc邊,且等於第三邊的一半。 三角形的中位線所構成的小三角形面積是原三角形面積的四分之一。
三角形中位線性質
3樓:匿名使用者
中位線1.中位線概念:
(1)三角形中位線定義:連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
(2)梯形中位線定義:連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線.
注意:(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開.三角形中線是連結一頂點和它的對邊中點的 線段,而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段.
(2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段.
(3)兩個中位線定義間的聯絡:可以把三角形看成是上底為零時的梯形,這時梯形的中位線就變成三角形的中位線.
2.中位線定理:
(1)三角形中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半.
(2)梯形中位線定理:梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底和的一半.
中位線是三角形與梯形中的一條重要線段,由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連,因此,它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用.
例1 如圖2-53所示.△abc中,ad⊥bc於d,e,f,△abc的面積.
分析 由條件知,ef,eg分別是三角形abd和三角形abc的中位線.利用中位線的性質及條件中所給出的數量關係,不難求出△abc的高ad及底邊bc的長.
解 由已知,e,f分別是ab,bd的中點,所以,ef是△abd的一條中位線,所以
由條件ad+ef=12(釐米)得
ef=4(釐米),
從而 ad=8(釐米),
由於e,g分別是ab,ac的中點,所以eg是△abc的一條中位線,所以
bc=2eg=2×6=12(釐米),
顯然,ad是bc上的高,所以
例2 如圖 2-54 所示.△abc中,∠b,∠c的平分線be,cf相交於o,ag⊥be於g,ah⊥cf於h.
(1)求證:gh‖bc;
(2)若ab=9釐米,ac=14釐米,bc=18釐米,求gh.
分析 若延長ag,設延長線交bc於m.由角平分線的對稱性可以證明△abg≌△mbg,從而g是am的中點;同樣,延長ah交bc於n,h是an的中點,從而gh就是△amn的中位線,所以gh‖bc,進而,利用△abc的三邊長可求出gh的長度.
(1)證 分別延長ag,ah交bc於m,n,在△abm中,由已知,bg平分∠abm,bg⊥am,所以
△abg≌△mbg(asa).
從而,g是am的中點.同理可證
△ach≌△nch(asa),
從而,h是an的中點.所以gh是△amn的中位線,從而,hg‖mn,即
hg‖bc.
(2)解 由(1)知,△abg≌△mbg及△ach≌△nch,所以
ab=bm=9釐米,ac=cn=14釐米.
又bc=18釐米,所以
bn=bc-cn=18-14=4(釐米),
mc=bc-bm=18-9=9(釐米).
從而mn=18-4-9=5(釐米),
說明 (1)在本題證明過程中,我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質定理的逆定理:「若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線,則這條平分線也是對邊的中線,這個三角形是等腰三角形」.
(2)「等腰三角形三線合一定理」的下述逆命題也是正確的:「若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線,則這個三角形是等腰三角形,這條平分線垂直於對邊」.同學們不妨自己證明.
(3)從本題的證明過程中,我們得到啟發:若將條件「∠b,∠c的平分線」改為「∠b(或∠c)及∠c(或∠b)的外角平分線」(如圖2-55所示),或改為「∠b,∠c的外角平分線」(如圖2-56所示),其餘條件不變,那麼,結論gh‖bc仍然成立.同學們也不妨試證.
例3 如圖2-57所示.p是矩形abcd內的一點,四邊形bcpq是平行四邊形,a′,b′,c′,d′分別是ap,pb,bq,qa的中點.求證:a′c′=b′d′.
分析 由於a′,b′,c′,d′分別是四邊形apbq的四條邊ap,pb,bq,qa的中點,有經驗的同學知道a′b′c′d′是平行四邊形,a′c′與b′d′則是它的對角線,從而四邊形a′b′c′d′應該是矩形.利用abcd是矩形的條件,不難證明這一點.
證 連線a′b′,b′c′,c′d′,d′a′,這四條線段依次是△apb,△bpq,△aqb,△apq的中位線.從而
a′b′‖ab,b′c′‖pq,
c′d′‖ab,d′a′‖pq,
所以,a′b′c′d′是平行四邊形.由於abcd是矩形,pcbq是平行四邊形,所以
ab⊥bc,bc‖pq.
從而ab⊥pq,
所以 a′b′⊥b′c′,
所以四邊形a′b′c′d′是矩形,所以
a′c′=b′d′. ①
說明 在解題過程中,人們的經驗常可起到引發聯想、開拓思路、擴大已知的作用.如在本題的分析中利用「四邊形四邊中點連線是平行四邊形」這個經驗,對尋求思路起了不小的作用.因此注意歸納總結,積累經驗,對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的.
例4 如圖2-58所示.在四邊形abcd中,cd>ab,e,f分別是ac,bd的中點.求證:
分析 在多邊形的不等關係中,容易引發人們聯想三角形中的邊的不形中構造中位線,為此,取ad中點.
證 取ad中點g,連線eg,fg,在△acd中,eg是它的中位線(已知e是ac的中點),所以
同理,由f,g分別是bd和ad的中點,從而,fg是△abd的中位線,所以
在△efg中,
ef>eg-fg. ③
由①,②,③
例5 如圖2-59所示.梯形abcd中,ab‖cd,e為bc的中點,ad=dc+ab.求證:de⊥ae.
分析 本題等價於證明△aed是直角三角形,其中∠aed=90°.
在e點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發下,添梯形的中位線作為輔助線,若能證明,該中位線是直角三角形aed的斜邊(即梯形另一腰)的一半,則問題獲解.
證 取梯形另一腰ad的中點f,連線ef,則ef是梯形abcd的中位線,所以
因為ad=ab+cd,所以
從而∠1=∠2,∠3=∠4,
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ade的內角和等於180°).從而
∠aed=∠2+∠3=90°,
所以 de⊥ae.
例6 如圖2-60所示.△abc外一條直線l,d,e,f分別是三邊的中點,aa1,ff1,dd1,ee1都垂直l於a1,f1,d1,e1.求證:
aa1+ee1=ff1+dd1.
分析 顯然adef是平行四邊形,對角線的交點o平分這兩條對角線,oo1恰是兩個梯形的公共中位線.利用中位線定理可證.
證 連線ef,ea,ed.由中位線定理知,ef‖ad,de‖af,所以adef是平行四邊形,它的對角線ae,df互相平分,設它們交於o,作oo1⊥l於o1,則oo1是梯形aa1e1e及ff1d1d的公共中位線,所以
即 aa1+ee1=ff1+dd1.
練習十四
1.已知△abc中,d為ab的中點,e為ac上一點,ae=2ce,cd,be交於o點,oe=2釐米.求bo的長.
2.已知△abc中,bd,ce分別是∠abc,∠acb的平分線,ah⊥bd於h,af⊥ce於f.若ab=14釐米,ac=8釐米,bc=18釐米,求fh的長.
3.已知在△abc中,ab>ac,ad⊥bc於d,e,f,g分別是ab,bc,ac的中點.求證:∠bfe=∠egd.
4.如圖2-61所示.在四邊形abcd中,ad=bc,e,f分別是cd,ab的中點,延長ad,bc,分別交fe的延長線於h,g.求證:∠ahf=∠bgf.
5.在△abc中,ah⊥bc於h,d,e,f分別是bc,ca,ab的中點(如圖2-62所示).求證:∠def=∠hfe.
6.如圖2-63所示.d,e分別在ab,ac上,bd=ce,be,cd的中點分別是m,n,直線mn分別交ab,ac於p,q.求證:ap=aq.
7.已知在四邊形abcd中,ad>bc,e,f分別是ab,cd
4樓:賓令怡譙深
在任意三角形中.連線兩邊中點的線段,平行於第三邊並等於它的一半
5樓:善待玉玉
三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半.
6樓:令玄清
三角形中位線性質:平行於所對邊,並且是它的一半
魯教版?應該是初二下學期學的
三角形中位線的性質是什麼,三角形的中位線有什麼性質?
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