1樓：匿名使用者
中位線1.中位線概念：
(1)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．
(2)梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．
注意：(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開．三角形中線是連結一頂點和它的對邊中點的 線段，而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段．
(2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段．
(3)兩個中位線定義間的聯絡：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線．
2.中位線定理：
(1)三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半．
(2)梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半．
中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．
例1 如圖2-53所示．△abc中，ad⊥bc於d，e，f，△abc的面積．
分析 由條件知，ef，eg分別是三角形abd和三角形abc的中位線．利用中位線的性質及條件中所給出的數量關係，不難求出△abc的高ad及底邊bc的長．
解 由已知，e，f分別是ab，bd的中點，所以，ef是△abd的一條中位線，所以
由條件ad+ef=12(釐米)得
ef=4(釐米)，
從而 ad=8(釐米)，
由於e，g分別是ab，ac的中點，所以eg是△abc的一條中位線，所以
bc=2eg=2×6=12(釐米)，
顯然，ad是bc上的高，所以
例2 如圖 2-54 所示．△abc中，∠b，∠c的平分線be，cf相交於o，ag⊥be於g，ah⊥cf於h．
(1)求證：gh‖bc；
(2)若ab=9釐米，ac=14釐米，bc=18釐米，求gh．
分析 若延長ag，設延長線交bc於m．由角平分線的對稱性可以證明△abg≌△mbg，從而g是am的中點；同樣，延長ah交bc於n，h是an的中點，從而gh就是△amn的中位線，所以gh‖bc，進而，利用△abc的三邊長可求出gh的長度．
(1)證 分別延長ag，ah交bc於m，n，在△abm中，由已知，bg平分∠abm，bg⊥am，所以
△abg≌△mbg(asa)．
從而，g是am的中點．同理可證
△ach≌△nch(asa)，
從而，h是an的中點．所以gh是△amn的中位線，從而，hg‖mn，即
hg‖bc．
(2)解 由(1)知，△abg≌△mbg及△ach≌△nch，所以
ab=bm=9釐米，ac=cn=14釐米．
又bc=18釐米，所以
bn=bc-cn=18-14=4(釐米)，
mc=bc-bm=18-9=9(釐米)．
從而mn=18-4-9=5(釐米)，
說明 (1)在本題證明過程中，我們事實上證明了等腰三角形頂角平分線三線合一(即等腰三角形頂角的平分線也是底邊的中線及垂線)性質定理的逆定理：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的垂線，則這條平分線也是對邊的中線，這個三角形是等腰三角形”．
(2)“等腰三角形三線合一定理”的下述逆命題也是正確的：“若三角形一個角的平分線也是該角對邊的中線，則這個三角形是等腰三角形，這條平分線垂直於對邊”．同學們不妨自己證明．
(3)從本題的證明過程中，我們得到啟發：若將條件“∠b，∠c的平分線”改為“∠b(或∠c)及∠c(或∠b)的外角平分線”(如圖2-55所示)，或改為“∠b，∠c的外角平分線”(如圖2-56所示)，其餘條件不變，那麼，結論gh‖bc仍然成立．同學們也不妨試證．
例3 如圖2-57所示．p是矩形abcd內的一點，四邊形bcpq是平行四邊形，a′，b′，c′，d′分別是ap，pb，bq，qa的中點．求證：a′c′=b′d′．
分析 由於a′，b′，c′，d′分別是四邊形apbq的四條邊ap，pb，bq，qa的中點，有經驗的同學知道a′b′c′d′是平行四邊形，a′c′與b′d′則是它的對角線，從而四邊形a′b′c′d′應該是矩形．利用abcd是矩形的條件，不難證明這一點．
證 連線a′b′，b′c′，c′d′，d′a′，這四條線段依次是△apb，△bpq，△aqb，△apq的中位線．從而
a′b′‖ab，b′c′‖pq，
c′d′‖ab，d′a′‖pq，
所以，a′b′c′d′是平行四邊形．由於abcd是矩形，pcbq是平行四邊形，所以
ab⊥bc，bc‖pq．
從而ab⊥pq，
所以 a′b′⊥b′c′，
所以四邊形a′b′c′d′是矩形，所以
a′c′=b′d′． ①
說明 在解題過程中，人們的經驗常可起到引發聯想、開拓思路、擴大已知的作用．如在本題的分析中利用“四邊形四邊中點連線是平行四邊形”這個經驗，對尋求思路起了不小的作用．因此注意歸納總結，積累經驗，對提高分析問題和解決問題的能力是很有益處的．
例4 如圖2-58所示．在四邊形abcd中，cd＞ab，e，f分別是ac，bd的中點．求證：
分析 在多邊形的不等關係中，容易引發人們聯想三角形中的邊的不形中構造中位線，為此，取ad中點．
證 取ad中點g，連線eg，fg，在△acd中，eg是它的中位線(已知e是ac的中點)，所以
同理，由f，g分別是bd和ad的中點，從而，fg是△abd的中位線，所以
在△efg中，
ef＞eg-fg． ③
由①，②，③
例5 如圖2-59所示．梯形abcd中，ab‖cd，e為bc的中點，ad=dc+ab．求證：de⊥ae．
分析 本題等價於證明△aed是直角三角形，其中∠aed=90°．
在e點(即直角三角形的直角頂點)是梯形一腰中點的啟發下，添梯形的中位線作為輔助線，若能證明，該中位線是直角三角形aed的斜邊(即梯形另一腰)的一半，則問題獲解．
證 取梯形另一腰ad的中點f，連線ef，則ef是梯形abcd的中位線，所以
因為ad=ab+cd，所以
從而∠1=∠2，∠3=∠4，
所以∠2+∠3=∠1+∠4=90°(△ade的內角和等於180°)．從而
∠aed=∠2+∠3=90°，
所以 de⊥ae．
例6 如圖2-60所示．△abc外一條直線l，d，e，f分別是三邊的中點，aa1，ff1，dd1，ee1都垂直l於a1，f1，d1，e1．求證：
aa1+ee1=ff1+dd1．
分析 顯然adef是平行四邊形，對角線的交點o平分這兩條對角線，oo1恰是兩個梯形的公共中位線．利用中位線定理可證．
證 連線ef，ea，ed．由中位線定理知，ef‖ad，de‖af，所以adef是平行四邊形，它的對角線ae，df互相平分，設它們交於o，作oo1⊥l於o1，則oo1是梯形aa1e1e及ff1d1d的公共中位線，所以
即 aa1+ee1=ff1+dd1．
練習十四
1．已知△abc中，d為ab的中點，e為ac上一點，ae=2ce，cd，be交於o點，oe=2釐米．求bo的長．
2．已知△abc中，bd，ce分別是∠abc，∠acb的平分線，ah⊥bd於h，af⊥ce於f．若ab=14釐米，ac=8釐米，bc=18釐米，求fh的長．
3．已知在△abc中，ab＞ac，ad⊥bc於d，e，f，g分別是ab，bc，ac的中點．求證：∠bfe=∠egd．
4．如圖2-61所示．在四邊形abcd中，ad=bc，e，f分別是cd，ab的中點，延長ad，bc，分別交fe的延長線於h，g．求證：∠ahf=∠bgf．
5．在△abc中，ah⊥bc於h，d，e，f分別是bc，ca，ab的中點(如圖2-62所示)．求證：∠def=∠hfe．
6．如圖2-63所示．d，e分別在ab，ac上，bd=ce，be，cd的中點分別是m，n，直線mn分別交ab，ac於p，q．求證：ap=aq．
7．已知在四邊形abcd中，ad＞bc，e，f分別是ab，cd
2樓：呼延秀愛不香
三角形中位線性質:平行於所對邊,並且是它的一半
魯教版?應該是初二下學期學的
3樓：顧宜世依白
三角形中，連結任意兩邊的中點所成的線段稱為三角形的中位線。
三角形中位線平行於底邊，長度為底邊的一半。
4樓：小涼涼
中位線平分它所在的邊！如果在30、60、90度三角形中，那麼三角形的中位線是斜邊的一半；如果在等腰三角形中，那麼三角形的中位線也是這個等腰三角形的高和角平分線；
5樓：妙妙系列
連線三角形兩條邊中點所得的線段叫做三角形中位線
性質有：1、平行於三角形的第三條邊
2、長度等於第三條邊的一半
6樓：匿名使用者
平行於第三邊且等於第三邊的一半
7樓：手機使用者
平行與與它對應的邊且平分另外兩邊
三角形的中位線有什麼性質？
8樓：卑儉禰春
它是三角形兩邊中點的連線，它平行且等於等三邊，三角形的三條中位線把三角形分成四個全等三角形。
9樓：匿名使用者
三角形兩邊中點的連線，平行且等於第三邊的1/2 這樣的線叫三角形的中位線 中位線
1.中位線概念：
(1)三角形中位線定義：連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．
(2)梯形中位線定義：連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線．
注意：(1)要把三角形的中位線與三角形的中線區分開．三角形中線是連結一頂點和它的對邊中點的 線段，而三角形中位線是連結三角形兩邊中點的線段．
(2)梯形的中位線是連結兩腰中點的線段而不是連結兩底中點的線段．
(3)兩個中位線定義間的聯絡：可以把三角形看成是上底為零時的梯形，這時梯形的中位線就變成三角形的中位線．
2.中位線定理：
(1)三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半．
(2)梯形中位線定理：梯形的中位線平行於兩底，並且等於兩底和的一半．
中位線是三角形與梯形中的一條重要線段，由於它的性質與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．專業數學接受您的任何追問，竭誠為你服務！
10樓：匿名使用者
在任意三角形中.連線兩邊中點的線段,平行於第三邊並等於它的一半
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