1樓：匿名使用者
橢圓的面積公式
s=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸，短半軸的長). 或s=π(圓周率)×a×b/4(其中a,b分別是橢圓的長軸，短軸的長).
橢圓的周長公式
橢圓周長沒有公式，有積分式或無限項式。 橢圓周長(l)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如 l = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)²)dt≈2π√((a²+b²)/2) [橢圓近似周長],其中a為橢圓長半軸，e為離心率 橢圓離心率的定義為橢圓上的點到某焦點的距離和該點到該焦點對應的準線的距離之比，設橢圓上點p到某焦點距離為pf，到對應準線距離為pl，則 e=pf/pl
橢圓的準線方程
x=±a^2/c
橢圓的離心率公式
e=c/a(02c。離心率越大，橢圓越扁平；離心率越小，橢圓越接近於圓形。 橢圓的焦準距：橢圓的焦點與其相應準線(如焦點（c,0）與準線x=+a^2/c) 的距離為b^2/c
橢圓焦半徑公式
焦點在x軸上：|pf1|=a+ex |pf2|=a-ex(f1,f2分別為左右焦點) 橢圓過右焦點的半徑r=a-ex 過左焦點的半徑r=a+ex 焦點在y軸上：|pf1|=a-ey |pf2|=a+ey(f1,f2分別為上下焦點) 橢圓的通徑：
過焦點的垂直於x軸（或y軸）的直線與橢圓的兩交點a,b之間的距離，數值=2b^2/a
點與橢圓位置關係
點m（x0，y0） 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1 點在圓內：x0^2/a^2+y0^2/b^2<1 點在圓上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1 點在圓外：
x0^2/a^2+y0^2/b^2>1
直線與橢圓位置關係
y=kx+m ① x^2/a^2+y^2/b^2=1 ② 由①②可推出x^2/a^2+（kx+m）^2/b^2=1 相切△=0 相離△<0無交點 相交△>0 可利用弦長公式：a(x1,y1) b(x2,y2) |ab|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1/k^2)|y1-y2| = √(1+1/k^2)(y1-y2)^2
橢圓的斜率公式
過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點（x，y）的切線斜率為 -(b^2)x/(a^2)y 橢圓焦點三角形面積公式 若∠f1pf2=θ，則s=b^2tan（θ/2）
編輯本段橢圓引數方程的應用
求解橢圓上點到定點或到定直線距離的最值時，用引數座標可將問題轉化為三角函式問題求解 x=a×cosβ， y=b×sinβ a為長軸長的一半 相關性質 由於平面截圓錐（或圓柱）得到的圖形有可能是橢圓，所以它屬於一種圓錐截線。 例如：有一個圓柱，被截得到一個截面，下面證明它是一個橢圓（用上面的第一定義）：
將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓，它們碰到截面的時候停止，那麼會得到兩個公共點，顯然他們是截面與球的切點。 設兩點為f1、f2 對於截面上任意一點p，過p做圓柱的母線q1、q2，與球、圓柱相切的大圓分別交於q1、q2 則pf1=pq1、pf2=pq2，所以pf1+pf2=q1q2 由定義1知：截面是一個橢圓，且以f1、f2為焦點 用同樣的方法，也可以證明圓錐的斜截面（不通過底面）為一個橢圓 例：
已知橢圓c：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的離心率為√6/3，短軸一個端點到右焦點的距離為√3. 1．求橢圓c的方程.
2．直線l：y=x+1與橢圓交於a，b兩點，p為橢圓上一點，求△pab面積的最大值. 3．在（2）的基礎上求△aob的面積.
一 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a，端點到左右焦點的距離相等(橢圓的定義），可知a=√3，又c/a=√6/3,代入得c=√2，b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1， 二 要求面積，顯然以ab作為三角形的底邊，聯立x^2/3+y^2/1=1，y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.
利用弦長公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括號表示絕對值）弦長=3√2/2,對於p點面積最大，它到弦的距離應最大，假設已經找到p到弦的距離最大，過p做弦的平行線，可以 發現這個平行線是橢圓的切線是才會最大，這個切線和絃平行故斜率和絃的斜率=，設y=x+m,利用判別式等於0，求得m=2,-2.結合圖形得m=-2.x=1.
5,y=-0.5,p(1.5,-0.
5), 三 直線方程x-y+1=0,利用點到直線的距離公式求的√2/2,面積1/2*√2/2*3√2/2=3/4,
雙曲線定義：我們把平面內與兩個定點f1,f2的距離的差的絕對值等於一個常數的軌跡稱為雙曲線 。 定義1：
平面內，到兩個定點的距離之差的絕對值為常數（小於這兩個定點間的距離[1]）的點的軌跡稱為雙曲線。 定義2：平面內，到給定一點及一直線的距離之比為大於1的常數的點的軌跡稱為雙曲線。
定義3：一平面截一圓錐面，當截面與圓錐面的母線不平行，且與圓錐面的兩個圓錐都相交時，交線稱為雙曲線。 定義4：
在平面直角座標系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0滿足以下條件時，其影象為雙曲線。 1.a、b、c不都是零.
2. b^2 - 4ac > 0. 在高中的解析幾何中，學到的是雙曲線的中心在原點，影象關於x，y軸對稱的情形。
這時雙曲線的方程退化為：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1. 上述的四個定義是等價的。
雙曲線的簡單幾何性質
1、軌跡上一點的取值範圍：│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。 2、對稱性：
關於座標軸和原點對稱。 3、頂點：a(-a,0)， a'(a,0)。
同時 aa'叫做雙曲線的實軸且│aa'│=2a. b(0,-b)， b'(0,b)。同時 bb'叫做雙曲線的虛軸且│bb'│=2b.
4、漸近線： 焦點在x軸：y=±(b/a)x.
焦點在y軸：y=±(a/b)x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。
其中p為焦點到準線距離，θ為弦與x軸夾角。 令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=pi，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫座標。
求出它們的中點的橫座標（雙曲線中心橫座標） x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 （注意化簡一下） 直線ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。 將這條直線順時針旋轉pi/2-arccos(1/e)角度後就得到漸近線方程，設旋轉後的角度是θ’ 則θ’=θ-[pi/2-arccos(1/e)] 則θ=θ’+[pi/2-arccos(1/e)] 代入上式： ρcos=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 即：
ρsin[arccos(1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 現在可以用θ取代式中的θ’了 得到方程：ρsin[arccos(1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2 現證明雙曲線x^2/a^2-y^/b^2=1 上的點在漸近線中 設m(x,y)是雙曲線在第一象限的點，則 y=(b/a)√(x^2-a^2) (x>a) 因為x^2-a^20,b>0) 而反比例函式的標準型是 xy = c (c ≠ 0) 但是反比例函式圖象確實是雙曲線軌跡經過旋轉得到的 因為xy = c的對稱軸是 y=x, y=-x 而x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的對稱軸是x軸，y軸 所以應該旋轉45度 設旋轉的角度為 a （a≠0,順時針） (a為雙曲線漸進線的傾斜角) 則有 x = xcosa + ysina y = - xsina + ycosa 取 a = π/4 則 x^2 - y^2 = (xcos(π/4) + ysin(π/4))^2 -(xsin(π/4) - ycos(π/4))^2 = (√2/2 x + √2/2 y)^2 -(√2/2 x - √2/2 y)^2 = 4 (√2/2 x) (√2/2 y) = 2xy. 而xy=c 所以 x^2/(2c) - y^2/(2c) = 1 (c>0) y^2/(-2c) - x^2/(-2c) = 1 (c<0) 由此證得，反比例函式其實就是雙曲線的一種形式，.
只不過是雙曲線在平面直角座標系內的另一種擺放形式.
編輯本段·雙曲線焦點三角形面積公式
若∠f1pf2=θ, 則s△f1pf2=b^2*cot（θ/2)或s△f1pf2=b^2*/tan(θ/2) ·例：已知f1、f2為雙曲線c：x^2-y^2=1的左右焦點，點p在c上，∠f1pf2=60°，則p到x軸的距離為多 少？
解：由雙曲線焦點三角形面積公式得s△f1pf2=b^2*cot（θ/2) =√3 設p到x軸的距離為h，則s△f1pf2=1/2*h*2√2; h=√6/2
編輯本段·雙曲線引數方程
雙曲線的引數方程:x=a*sec θ (正割) y=b*tan θ ( a為實半軸長， b為虛半軸長， θ為引數。)
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