1樓：匿名使用者
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。
2樓：遲暢鐸之桃
1.因為特徵向量經過施密特正交化之後不一定是原來矩陣（線性變換）的特徵向量,也即在經過正交化的基表示下不一定是對角的.在酉空間中,矩陣可以正交對角化的充要條件是矩陣滿足aa*=a*a （a*是a的共軛轉置）
2.這要從變換的角度來理解.左乘初等矩陣,是對行作初等變換,再右乘這個初等矩陣的轉置,是對列作「對稱」的初等變換,因為矩陣是對稱的,所以這樣做一定最後可以把它對角化.
比如假設對稱矩陣（1,1）位置的元素不為0,先用行初等變換通過第一行把第三行的第一個元素消為0,那麼再右乘這個變換對應矩陣的轉置後,則一定會把第三列的第一個元素消為0.
3這個是基本的證明,你可以參考吳泉水復旦大學《高等代數》
3樓：匿名使用者
不用厄米特矩陣。若能證明下列命題，你的問題便也立即得到解決了。
設a是一個n階實對稱矩陣，那麼可以找到n階正交矩陣t，使得（t的逆陣）at為對角矩陣。
證明：當n=1時結論顯然成立。現在證明若對n-1階實對稱矩陣成立，則 對n階實對稱矩陣也成立。
設シ是a的一個特徵值（n階矩陣一定有n個特徵值（計數重複的）），設α是a 的一個特徵向量（α是列向量）。（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα。因為特徵向量的非零倍數仍然是特徵向量，所以只要把α的每一個元都除以イ，其中イ的平方=（α的轉置）*α，就使得α為單位向量（所謂單位向量就是（α的轉置）*α=1）。
顯然所有的單位向量有無數個，且顯然可以找到足夠多的列單位向量，使得他們與α的內積為0且他們兩兩內積等於0，因為正交矩陣的充要條件是列（行）向量兩兩正交且都是單位向量，又因為對方陣而言若ab=e則ba=e，故可以 以α為第一列人工寫出一個正交矩陣q，（所謂正交矩陣就是（q的轉置）*q=q*(q的轉置)=e）。由（（α的轉置）*a）的轉置=aα=シα 得（q的轉置）a的第一行是（シα）的轉置，於是 （q的轉置）aq的第1行第1列處是シ（α的轉置）α= シ，還可以推出（q的轉置）aq的第一列除了第一行以外都是0（至於這是為啥實在不方便打字，讀者可以自己算一下，提示一下 設t是q的元，tij*t+t..*t..
+t..*t..+t..
*t..時若每一項的角標都不完全一樣，那麼這些加起來就是0）。因為q是正交矩陣，（（q的逆陣）aq）的轉置=（q的轉置）（a的轉置）（q的逆陣的轉置）=（q的逆陣）aq，所以（q的逆陣）aq也是對稱矩陣，所以它第一行除了第一列以外也都是0，而除了第一行第一列剩下的一大塊矩陣還是一個對稱矩陣，所以最後可以反覆進行這個過程整成對角矩陣。
證畢然而正交矩陣一定是可逆矩陣，對方陣而言可逆等價於滿秩，乘以一個方陣滿秩方陣以後秩不變，這就證明了你的實對稱矩陣一定可以相似對角化
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