1樓：河傳楊穎
n*n的實對稱矩陣一定存在 n個相互正交的特徵向量，因為實對稱矩陣可以特徵值分解為 qdq『，其中 q為正交矩陣，d為對角陣（對角線元素為特徵值）。
這不是說相同特徵值的不同的特徵向量一定相互正交，而是說對於相同特徵值也一定存在一組相互正交的特徵向量。假設對於某個特徵值（重根），你求得了它的一組不相互正交的特徵向量，那麼可以通過正交化把他們變成一組相互正交的特徵向量。
證明如下：
設λ1,λ2是兩個a的不同特徵值，α1,α2分別是其對應的特徵向量，有a * α1 = λ1 * α1,a * α2 = λ2 *α2分別取轉置。
分別兩邊右乘α2和α1，得α1' * a' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * a' * α1 =λ1 * α2' * α1
對應相減並注意到α2' * a' * α1=（α2' * a' * α1)'= α1' * a' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * a' * α2 - α2' * a' * α1 = α1' * a' * α2 - α1' * a' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0
因此 α1' * α2 = 0
即 α1與α2 正交。
正交矩陣的相關性質
1、方陣a正交的充要條件是a的行（列）向量組是單位正交向量組；
2、方陣a正交的充要條件是a的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3、a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4、a的列向量組也是正交單位向量組；
5、正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
實對稱矩陣的主要性質：
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4、若λ具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λe-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
2樓：嚴正平無靜
思路大概是這樣的設實對稱矩陣a的兩不同特徵值k1，k2對應的特徵向量a，b，則a『ab=k1*a』b此式的左邊為一實數，故其轉置與其相等，再由a為實對陣矩陣，有a『ab=b'a『a=b』aa=k2*b'a即k1*a』b=k2*b'a又由a』b=b'a，k1不等於k2故a』b=b'a=0
3樓：金麟子
如果題目是實對稱矩陣，需要你將實對稱對角化，且對角化的可逆矩陣必須是正交矩陣，就需要對求出的實對稱矩陣的線性無關特徵向量進行施密特單位正交化。而有時一個特徵值對應好幾個特徵向量，即重根。這裡要注意，重根特徵值對應的特徵向量不一定不是正交的，如果正交就不需要正交化，如果不正交就需要進行正交化！
兩個向量是否正交判定將兩個向量相乘看是否為0，為0則正交，不為0則不正交需要進行正交化。對稱矩陣的兩個不同的特徵值對應的特徵向量一定正交，自行證明。所以特徵向量正交只針對題目要求用正交矩陣對角化，且實對稱矩陣所求特徵值存在重根特徵值，而且這一個重根特徵值對應的特徵向量不正交，才需要正交化！
有點囉嗦了，怕你們聽不懂。。。
實對稱矩陣，不同特徵值對應的特徵向量正交
4樓：匿名使用者
實對稱矩陣相關題目，敲重點《不同特徵值對應的特徵向量正交》
5樓：匿名使用者
可以，只要滿足方程就可以的，相同特徵值的特徵向量不一定正交
6樓：匿名使用者
應該說抄是：實對稱陣屬於不同特徵值襲的的特bai徵向量是正交的。
設ap=mp,aq=nq,其中a是實對稱du矩陣，zhim,n為其不同的特徵值，daop,q分別為其對應得特徵向量.
則p1(aq)=p1(nq)=np1q
(p1a)q=(p1a1)q=(ap)1q=(mp)1q=mp1q因為p1(aq)= (p1a)q
上兩式作差得：
(m-n)p1q=0
由於m不等於n,所以p1q=0
即(p,q)=0,從而p,q正交.
說明：p1表示p的轉置，a1表示a的轉置，(ap)1表示ap的轉置
設三階實對稱矩陣A的特徵值為6，3，3，與特徵值6對應的特徵向量p（1，1，1），求A
蜜糖棗棗 a等於4,1,1，過程如下 設3的特徵向量 a,b,c 則 1,1,1 a,b,c a b c 0，得兩個特徵向量 1,0,1 0,1,1 所以p 1,1,1 1,0,1 0,1,1 p 1ap a的相似矩陣 所以有 a pdiag 6,3,3 p 1 4,1,1 性質 線性變換的特徵向量...
線性代數概念 關於矩陣的特徵值，矩陣特徵值 線性代數
1.首先n階矩陣a的特徵可能不止一個，如果有一個是0，那麼a e e是n階單位矩陣 的特徵值就不會是零這句話是不對的。因為a的特徵值可能還有個1，就會導致a e 特徵值包含0。就跟簡單減法一樣 2.a 3 0 那麼a 3 e e,a e a 2 ae e e,所以 a e 是可逆的，逆矩陣為 a 2...
已知矩陣和特徵值怎麼求特徵向量，已知特徵值求特徵向量怎麼求？
墨汁諾 a 一定等於 的某個倍數 此倍數就是對應的特徵值。如果矩陣可對角化並且知道所有的特徵值及對應的特徵向量，那麼可以用這些資訊來還原矩陣 因為ap1 p1 1,apn pn n a p1,pn p1,pn diag a p1,pn diag p1,pn 求出特徵值之後，把特徵值代回到原來的方成裡...