1樓:
要求證a^2+b^2<2√ab
只要證(a^2+b^2)/2《根號ab
這也就是基本不等式中平方平均數小於幾何平均數
這是常識,
當然可以證明。
(我全證了,你補充一下知識)
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
(二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均)
證明:(證明過程引自他出)
設a,b是兩個正數,
m2=√[(a^2+b^2)/2],a=(a+b)/2,g=√(ab),h=2/(1/a+1/b)
分別表示a,b兩元的二次冪平均,算術平均,幾何平均和調和平均。證明: m2≥a≥g≥h。
證明 在梯形abcd中,ab‖cd,記ab=b,cd=a。
eifi(i=1,2,3,4)是平行於梯形abcd的底邊且被梯形兩腰所截的線段。
如果e1f1分梯形為等積的兩部分,那麼
e1f1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果e2f2分梯形的中位線,那麼
e2f2=(a+b)/2。
如果e3f3分梯形為兩相似圖形,那麼
e3f3=√(ab)。
如果e4f4通過梯形兩對角線交點的線段,那麼
e4f4=2/(1/a+1/b)。
從圖中直觀地證明e1f1≥e2f2≥e3f3≥e4f4,當a=b時取等號。
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