1樓：匿名使用者
這是趙樹源書中的一個習題, 答案好長好長的去看看吧
滿意請採納哈^-^
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)如何求和？
2樓：你愛我媽呀
解法一：
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=⅓×[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]
=⅓n(n+1)(n+2)
解法二：
考察一般項第k項，k(k+1)=k²+k
1×2+2×3+3×4+...+n(n+1)=(1²+2²+3²+...+n²)+(1+2+3+...
+n)=n(n+1)(2n+1)/6 +n(n+1)/2=[n(n+1)/6](2n+1+3)
=n(n+1)(2n+4)/6
=⅓n(n+1)(n+2)
3樓：等待楓葉
^1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)等於n(n+1)(n+2)/3。
解：令數列an=n*(n+1)，
那麼1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)即為數列an前n項和sn。
又因為an=n*(n+1)=n^2+n，
那麼sn=1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.........n*(n+1)
=1^2+1+2^2+2+3^2+3+...+(n-1)^2+(n-1)+n^2+n
=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
又根據平方和公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n*(n+1)*(2n+1)/6可得，
sn=(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+(1+2+3+...+n)
=n*(n+1)*(2n+1)/6+n*(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)/3
即數列anan前n項和sn=n(n+1)(n+2)/3。
4樓：阿可斯
分成1+2+3+……+n+(1^2+2^2+3^2+……+n^2)=(1+n)*n/2+1/6*n(n+1)(2n+1)=(n+1)*(n+2)*n/3。
重點是怎麼求1^2+2^2+……+n^2，這裡講2種方法，設sn=1^2+2^2+……+n^2。
方法1：
成1+2+3+4+5……+n
+2+3+4+5+……+n
3+4+5+……+n
4+5+……+n
……+n
用求和公式：
(1+n)n/2
+(2+n)(n-1)/2
+……+(n+n)(n-(n-1))/2
化簡=0.5*[(n+1)n+(n+2)(n-1)+(n+3)(n-2)+(n+4)(n-3)+……(n+n)(n-(n-1)]=0.5*[n^2*n+n*n-(2^2+……+n^2)+（2+3+4+……+n）]=0.
5*[n^3+n^2-(sn-1)+(n+2)(n-1)/2]
這就相當於得到一個關於sn的方程。
化簡一下：
n^3+n^2+1+(n+2)(n-1)/2=3sn，得
sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n即
1/6*n(n+1)(2n+1)
方法2：
sn=s(n-1)+n^2
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+n-1/3
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6
=s(n-1)+1/3*[n^3-(n-1)^3]+1/2*[n^2-(n-1)^2]+1/6*[n-(n-1)]
即sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6=s(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
好了！等式左面全是n,右面全是(n-1)，以此遞推下去，得
sn-1/3*n^3-1/2*n^2-n/6
=s(n-1)-1/3*(n-1)^3-1/2*(n-1)^2-(n-1)/6
=s(n-2)-1/3*(n-2)^3-1/2*(n-2)^2-(n-2)/6
……=s(1)-1/3*(1-1)^3-1/2*(1-1)^2-(1-1)/6
=0所以sn=1/3*n^3+1/2*n+1/6*n
通常我們是當成一個等式背下來，再帶到要求的數列中去。
5樓：老樹枝勾琬
證明:數學歸納法
n=1,左邊=1*2=2
右邊=1*(1+1)(1+2)/3=2
假設n=k成立,即
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)=k(k+1)(k+2)/3當n=k+1時
1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)
=k(k+1)(k+2)/3+(k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k/3+1)
=(k+1)(k+2)(k+3)/3
所以命題成立。
故1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
計算行列式 |1 2 3 … n| |2 3 4 … 1| |3 4 5 … 2| |… … … …| |n 1 2 … n-1| 謝謝~
6樓：匿名使用者
參考這個:
行列式計算：1 2 3 ... n 2 3 4 ... 1 3 4 5 ... 2 ................ n 1 2 ... n-1
7樓：酒丹遊書
第一行除外，用第i行減去第i-1行，得到一個新的行列式，再對這個新的行列式執行一遍前面的操作，最後就得到一個比較好算的行列式了（有兩條次對角線上元素非零，另外出去第一行外其餘全為0）
1+2+3+4+5+6+7+8+9........+100=？ 怎麼算出的，公式 100
8樓：小小芝麻大大夢
5050。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+......+99+100=（1+100）×100÷2
=101×50
=5050
公式：（首項+尾項）×項數÷2。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+......+99+100這是一個等差數列的求和。
等差數列是常見數列的一種，可以用ap表示，如果一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差。
9樓：匿名使用者
方程思想，令x=1+2+3+……+98+99+100，
倒序寫，∴x=100+99+98+……+3+2+1,
那麼2x=101+101+101+……+101+1101+101，（計100個）
=101*100，
∴x=101*100/2=101*50=5050,
高斯小時候計算應用加法交換律，分成50組，即
1+2+3+……+98+99+100
=（1+101）+（2+99）+（3+98）+……+（49+52）+（50+51）
=101+101+……+101+101（計50個）
=101*50
=5050，
記憶方法，類比梯形面積公式，（上底+下底）*高/2,即=（1+100）*100/2=5050，可計算連續任何個自然數之和，到高中你什麼都懂了。現在記住怎麼算就可以了。
追問其實從1加到100很簡單，就是101，不用把事情想這麼複雜。做事情要力求簡約。
回答我只是想給你提供幾種不同的思路#^_^#
10樓：匿名使用者
（1+100）×50=5050
11樓：匿名使用者
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+......+99+100=（1+100）×100÷2
=101×50
=5050
公式：（首項+尾項）×項數÷2
12樓：alex笑場
不用公式，從兩邊開始加，1+99=100.2+98=100，，，，，所以就是50個100再加一個100就是5050
13樓：匿名使用者
首項加末項乘項數除以二
14樓：匿名使用者
(首項+尾項)×項數÷2
=(1+100)×100÷2
=5050
15樓：匿名使用者
用1+99，2+98，3+97，以此類推，在加上100就等於5050。
16樓：純屬坑人嘛
把題目這個列為第一個式子，再寫出第二個式子:100+99+98+97...............+3+2+1 兩個式子相加除二。
1+2+3+4+5+6......+n為什麼=n（n+1）/2
17樓：真心話啊
解釋過程：
s=1+2+3+...+n ①
s=n+(n-1)+...+1②
①+②2s = (n+1)+(n+1)+...+(n+1)=n(n+1)
s=n（n+1）/2
1+2+3+...+n=s=n（n+1）/2這是一個等差數列的求和公式。
等差數列是指從第二項起，每一項與它的前一項的差等於同一個常數的一種數列，常用a、p表示。這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表示。
即（首項+末項）×項數÷2。
18樓：浪子_回頭
證明：首數加尾數等於n+1，次首數加次尾數等於n+1。
所以一共n/2個n+1。如果n為偶，自然沒問題；如果n為奇數，那麼中間的數等於（n+1）/2，和就是（n+1）/2+（n-1）×（n+1）/2=n（n+1）/2。
所以1+2+3+4+5+6......+n=n（n+1）/2。
19樓：匿名使用者
很簡單，首數加尾數等於n+1,次首數加次尾數等於n+1。。。。
所以一共n/2個n+1.如果n為偶，自然沒問題，如果n為奇數，那麼中間的數等於（n+1）/2.
因此此公式成立。
你也可以把他想成一共梯形，上底為首數，下底為尾數，高為項數，面積為和。
20樓：黃涸
我是黃河，看下面的**，個人原創，不需要什麼公式，不需要過多解釋：
我來上圖吧：
21樓：匿名使用者
1+2+3+4+……+n=x
n+（n-1）+（n-2）+（n-3）+……+1=x上下兩式相加，左邊有n個1+n，右邊有2個x，相等，即n（n+1）=2x
解得x=n（n+1）/2
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.n等於幾
22樓：我是一個麻瓜啊
1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+.n=（1+n）n/2。
1+2+3+4+5+6+7+8+9+.n這是一個以1為首項，公差為1的等差數列求和。
n>=2時，an-an-1=n-(n-1)=n-n+1=1(常數）這個數列是以a1=1為首項，1為公差的等差數列。
sn=na1+n(n-1)/2d=nx1+n(n-1)/2x1=n+n(n-1)/2=(2n+n^2-n)/2=(n^2+n)/2=（1+n）n/2。
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