1樓：匿名使用者
fn(x)'=2ncosx*sinx*[sinx^(2n-2)-cosx^（2n-2)]
2π為fn的週期
所以只討論[0,2π]之間的fn取值即可
fn(x)'=0時只有以下幾個點
x=0,π/4,π/2,3π/4,π,5π/4,3π/2,7π/4易知極值點在其中
得到fn(max)=1
fn(min)=(1/2)^(n-1)
2樓：未
設x^2n=a
原式=sina + cosa
用輔助角公式=（根號2）sin（a+π/4）即原式=（根號2）sin（x^2n+π/4）因為x^2n大於0 所以（根號2）/2 ≤sin（x^2n+π/4）≤1
所以2≤fn(x)≤（根號2）
這個是輔助角公式的資料
我的極值是錯誤的 但是方法是對的 時間有限 沒法改正 sorry啊
3樓：
laotouxia真強
4樓：電燈劍客
這題有難度取決於你有多少知識，我假定你只有高中的知識，那麼只要你基本功比較好還是相當容易的。
首先，令t=cos^2(x)，那麼1-t=sin^2(x)，把問題轉化為fn(t)=t^n+(1-t)^n，0<=t<=1上面的極值問題。
然後利用定義證明fn(t)在[0,1/2]上遞減，在[1/2,1]上遞增。
稍微幫你寫一下，若0<=y<=x<=1/2，那麼
fn(x)-fn(y)
=(x-y)[x^(n-1)+x^(n-2)y+...+xy^(n-2)+y^(n-1)]-(x-y)[(1-x)^(n-1)+...+(1-y)^(n-1)]
=(x-y)[x^(n-1)-(1-x)^(n-1) + x^(n-2)y-(1-x)^(n-2)(1-y) + ... + y^(n-1)-(1-y)^(n-1)]
注意到x<=1-x,y<=1-y，所以fn(x)-fn(y)<=0。
同樣可以證明另一半。
然後t=1/2時取最小值2^(1-n)，t=0或t=1時取最大值1。
如果你知道方程x^m+y^m=a^m的影象，或者知道冪平均值不等式，那麼這個問題就很顯然了，t=1/2時取最小值，t=0或1的時候取最大值。
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