1樓：隔壁小鍋
1、引力勢能公式微積分推導過程如下圖，mgh適合地面上g不變化的情況，而gmm/r適用於太空。
2、引力勢能公式普通推導過程如下：
在太空中所受的萬有引力 相當於人在地球上所受的重力一般,是一個保守力（做功只與初末位置有關）
然後我們假設在太空中有這樣的兩個星體ab,質量分別為m1，m2,相距r1。
當b星體向它們的連心線ab（其實就是萬有引力的方向上）向外移動一段距離△r時,
其距離改變為r2 ,r1+△r→r2,考慮△r很微小,可近似為r1=r2。
同時在改變的過程中由於△r很微小,∴它們的萬有引力是不變的。
所以：萬有引力在由r1+△r→r2所做的功就是w1=gm1m2/r1²×△r=(gm1m2/r1r2)×（r2-r1)
=gm1m2/r1-gm1m2/r2
同理考慮無窮個這樣的△r可得w2= gm1m2/r2-gm1m2/r3
w3=gm1m2/r3-gm1m2/r4
w4=gm1m2/r4-gm1m2/r5
wn=gm1m2/r n-1 -gm1m2/rn
然後累項相加得w1+w2+w3+w4……+wn=gm1m2/r1-gm1m2/rn
因為n趨近於無窮大,所以gm1m2/rn就為零了∴從原處到無窮遠的萬有引力做功為-gm1m2/r1,又因為 w萬=ep1-epn=
-gm1m2/r1,epn=0 所以ep1=-gm1m2/r1 所以得星體a在原來的萬有引力勢能為ep1=-gm1m2/r1 ∴對於任意星體都滿足e=-gmm/r
擴張資料：
引力勢能證明
以地球為例，設地球質量為m，其無窮遠處為勢能零點，則當質量為m的物體自無窮遠處移動到距離地球r處時，引力消耗勢能做功為
wp=其中
為移動過程中的任意微小位移。
對於距離地球x初的質量體m，其引力f=
則當質量m由無窮遠處移動到距地球r處，有
wp=解得wp=
當質量體m由無窮遠處（零勢能點）移動到距離地球r處，引力做功wp=
，即引力勢能減少了這麼多，則該處的引力勢能
ep=0
2樓：匿名使用者
先把問題具體化一下：質點質量為m，求和質點距離為r0處的引力勢能。
設無窮遠處引力勢能為0.設一質量為m的物體從無窮遠處移向m，在距離為r處的萬有引力
f=gmm/r^2
在這個力的作用下向m移動一小段距離dr,這個過程中可以認為f不變，做功
dw=fdr=gmmdr/r^2
將上面的式子對r從正無窮到r0積分，可以得到w=gmm/r0
這就是萬有引力對物體從無窮遠到r0做的功，也就是物體在該過程中減小的勢能，所以物體在r0處的勢能（無窮遠處為零）
ep=0-w=-gmm/r0
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