1樓：其莉刑智鑫
複變函式論裡的尤拉公式
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明:
因為e^x=1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的式中把x換成±ix.
(±i)^2=-1,
(±i)^3=∓i,
(±i)^4=1
……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式裡的x換成-x，得到:
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到:
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到:
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起:兩個超越數:自然對數的底e，圓周率
π，兩個單位:虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
2樓：希青桖
一方面，在原圖中利用各面求內角總和。
設有f個面，各面的邊數為n1,n2，…，nf，各面內角總和為：σα=[(n1-2)·180+(n2-2)·180+…+(nf-2)
·180]
=(n1+n2+…+nf
-2f)
·180
=(2e
-2f)
·180=
(e-f)
·360
（1）另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。
設剪去的一個面為n邊形，其內角和為(n-2)·180，則所有v個頂點中，有n個頂點在邊上，v-n個頂點在中間。中間v-n個頂點處的內角和為(v-n)·360，邊上的n個頂點處的內角和(n-2)·180。
所以，多面體各面的內角總和：σα=
(v-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180=（v-2）·360.
（2）由(1)(2)得：
(e-f)
·360
=（v-2）·360所以v
+f–e=2.
3樓：香嫣然柯紅
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……
在e＾x的式中把x換成±ix.(±i)^2=-1,
(±i)^3=〒i,
(±i)^4=1
……（注意：其中”〒”表示”減加”）
e^±ix=1±x/1！-x^2/2！+x^3/3!〒x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。
將e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：
e^iπ+1=0.
4樓：世瀾步凌波
eix=1+
ix-x2/2!-i
x3/3!
+x4/4!+i
x5/5!+…
=(1-x2/2!
+x4/4!+…)
+i(x-
x3/3!
+x5/5!+…)
又因為：
cosx=1
-x2/2!
+x4/4!+…
sinx=x
-x3/3!
+x5/5!+…
所以eix
=cosx+
isinx
尤拉公式如何推匯出來
5樓：縱橫豎屏
推導過程這三個公式分別為其省略餘項的麥克勞林公式，其中麥克勞林公式為泰勒公式的一種特殊形式
這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：自然對數的底e，圓周率π；兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1；
以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”。
6樓：匿名使用者
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!
+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!
-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=
7樓：抗豐席韋
尤拉公式有4條
（1）分式：
a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)
當r=0,1時式子的值為0
當r=2時值為1
當r=3時值為a+b+c
（2）複數
由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：
sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i
cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2
（3）三角形
設r為三角形外接圓半徑，r為內切圓半徑，d為外心到內心的距離，則：
d＾2=r＾2-2rr
（4）多面體
設v為頂點數，e為稜數，是面數，則
v-e+f=2-2p
p為尤拉示性數，例如
p=0的多面體叫第零類多面體
p=1的多面體叫第一類多面體
等等其實尤拉公式是有4個的，上面說的都是多面體的公式
8樓：林清他爹
尤拉公式不是推匯出來的，尤拉公式就是一個定義式！如下：
在複變函式中，設z是一個作為宗量（也就是自變數）的複數，則z=x+iy。則定義w=f(z)=e^z=e^(x+iy)=(e^x)(e^iy)=(e^x)(cosy+isiny)。請注意上式的幾個等號的含義：
第二個等號定義了有e^z這種形式的複變函式（具體是什麼對應法則不清楚，只是告訴你有這麼樣的一個函式）；第三個等號不是新的定義，是等價替換；第四個等號是一個新的定義，定義了這個函式滿足一個新的運演算法則（指數之和可以拆分成兩項之積，類似於實數）；第五個等號定義了尤拉公式，告訴你e^iy具體的對應法則！（這裡可能有點不好理解，因為e^z是一個複變函式，那麼e^z肯定是一個複數，那麼它肯定也能用x+iy這樣的形式表達出來，第五個等號就是給出了函式的對應法則！）
所以嚴格來說尤拉公式不是推匯出來的，只是一個定義式！只不過當時沒有直接定義，而是根據類比實數得出來的，然後才有了嚴格的定義。網上有好多人問尤拉公式怎麼證明，其實這顯示出了他們邏輯的混亂，沒有正確區分類比演義，定義，定理，證明四者的關係。
剛開始並沒有尤拉公式這個嚴格的定義，最初的尤拉公式是人們通過類比實數得出的演繹結果罷了，然後才有了尤拉公式嚴格的定義。
9樓：
複變函式論裡的尤拉公式
e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函式的定義域擴大到複數，建立了三角函式和指數函式的關係，它在複變函式論裡佔有非常重要的地位。 e^ix=cosx+isinx的證明：
因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!
+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!
-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!
-x^7/7!…… 在e^x的式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!
-x^2/2!∓x^3/3!+x^4/4!
…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裡的x換成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做尤拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：
e^iπ+1=0.這個恆等式也叫做尤拉公式，它是數學裡最令人著迷的一個公式，它將數學裡最重要的幾個數字聯絡到了一起：兩個超越數：
自然對數的底e，圓周率
π，兩個單位：虛數單位i和自然數的單位1，以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是“上帝創造的公式”，我們只能看它而不能理解它。
10樓：匿名使用者
|令z=cosx＋isinx
則dz/dx=－sinx＋icosx=i²sinx＋icosx=zidz/z=idx
ln|z|=ix＋c
由於x=0時，z=1，則c=0
所以ln|z|=ix
z=e^(ix)=cosx＋isinx
11樓：狂曠念鴻禧
用拓樸學方法證明尤拉公式
嘗尤拉公式：對於任意多面體（即各面都是平面多邊形並且沒有洞的立體），假
設f，e和v分別表示面，稜（或邊），角（或頂）的個數，那麼
f-e+v=2。試一下用拓樸學方法證明關於多面體的面、稜、頂點數的尤拉公式。
證明如圖15（圖是立方體，但證明是一般的，是“拓樸”的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。
（2）去掉多面體的一個面，就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設f′，e′和v′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數，我們只須證明f′-e′+v′=1。
（3）對於這個平面圖形，進行三角形分割，也就是說，對於還不是三角形的多邊形陸續引進對角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進一條對角線，f′和e′各增加1，而v′卻不變，所以f′-e′+v′不變。因此當完全分割成三角形的時候，f′-e′+v′的值仍然沒有變。
有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△abc，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即ac，這樣也就去掉了△abc。這樣f′和e′各減去1而v′不變，所以f′-e′+v′也沒有變。
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△def，去掉這個三角形的不屬於其他三角形的邊，即df和ef，這樣就去掉△def。這樣f′減去1，e′減去2，v′減去1，因此f′-e′+v′仍沒有變。
（6）這樣繼續進行，直到只剩下一個三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時f′=1，e′=3，v′=3，因此f′-e′+v′=1-3+3=1。
（7）因為原來圖形是連在一起的，中間引進的各種變化也不破壞這事實，因此最後圖形還是連在一起的，所以最後不會是分散在向外的幾個三角形，像圖中⑦那樣。
（8）如果最後是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個三角形，也就是去掉1個三角形，3個邊和2個頂點。因此f′-e′+v′仍然沒有變。
即f′-e′+v′=1
成立，於是尤拉公式：
f-e+v=2得證。
尤拉公式的推導過程，尤拉公式如何推匯出來
慕野清流 一方面，在原圖中利用各面求內角總和。設有f個面，各面的邊數為n1,n2，nf，各面內角總和為 n1 2 180 n2 2 180 nf 2 180 n1 n2 nf 2f 180 2e 2f 180 e f 360 1 另一方面，在拉開圖中利用頂點求內角總和。設剪去的一個面為n邊形，其內角...
尤拉公式具體是什麼，尤拉公式具體是什麼 數學上的尤拉公式老師說有很多個
尤拉公式有4條 1 分式 a r a b a c b r b c b a c r c a c b 當r 0,1時式子的值為0 當r 2時值為1 當r 3時值為a b c 2 複數 由e i cos isin 得到 sin e i e i 2i cos e i e i 2 此函式將兩種截然不同的函式 ...
什麼是尤拉公式，材料力學裡面的尤拉公式是啥
通常指的是這個 用於將複平面轉化成三角函式。 小玉兒格格 尤拉公式是指以尤拉命名的諸多公式。其中最著名的有，複變函式中的尤拉幅角公式 將複數 指數函式與三角函式聯絡起來 拓撲學中的尤拉多面體公式 初等數論中的尤拉函式公式。此外還包括其他一些尤拉公式，比如分式公式等等 在數學歷史上有很多公式都是尤拉 ...