1樓：
應按導數定義來求,
△y=f(x+△x)-f(x)
=e^(x+△x)-e^x
dy/dx=lim[△x→0] △y/△x=lim[△x→0] [e^(x+△x)-e^x]/△x]=e^x*lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x],令e^(△x)-1=t,
e^(△x)=1+t,
△x=ln(1+t),
lim[△x→0]e^(△x)-1]/△x]=lim[△x→0][t/ln(1+t)]
=lim[△x→0]{1/[ln(1+t)^(1/t)]=1/lne
=1,∴dy/dx=e^x*1
=e^x.
2樓：匿名使用者
根據定義e^x的導數為：
x0趨近於0時,lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(e^x0-1)/x0,
令e^x0-1=t,則當xo趨於零時,t也趨於零.則x0＝ln(t+1),
那麼lim(e^(x+x0)-e^x)/x0=e^xlim(t/ln(t+1))=e^xlim1/(ln((t+1)^（1/t）)
由極限的第一準則lim（t+1）^（1/t）＝e當t趨於零時,
所以lim(e^(x+x0)-e^x)/x0＝e^xlim（1/(lne)）=e^x.
3樓：
lim [e^(x+△x) - e^x]/△x=lime^x *[e^△x - 1]/△x=e^x * lim/△x 注：當 △x →0 時，e = lim(1+△x)^(1/△x)
=e^x * lim/△x
=e^x * lim (1 + △x - 1)/△x=e^x * lim △x /△x
=e^x證畢
4樓：多命剪刀腳
先求函式f(x)=a^x（a>0,a≠1）的導數f'(x)=lim[f(x+h)-f(x)]/h（h→0）=lim[a^(x+h)-a^x]/h（h→0）=a^x lim(a^h-1)/h（h→0）對lim(a^h-1)/h（h→0）求極限,得lna∴f'(x)=a^xlna
即(a^x)'=a^xlna
當a=e時,∵ln e=1
∴(e^x)'=e^x
5樓：曲勒個曲
很多人可能不明白, 為什麼 ( 1 + 1/x )^x = e ? 我這裡補充一下
①. 補充: 怎麼推導(n->∞) ( 1 + 1/x )^x = e ?
②. 答: ln(1+1/x)^x = x·ln (1 + 1/x);
③. 令△x = 1/x, 當 x -> ∞時, △x -> 0;
④. 接② : x·ln(1 + 1/x) = (1/△x)·(ln(1 + △x) - ln1) = (ln(1 + △x) - ln1) / △x 注:
ln1= 0, 就相當於沒減;
⑤. 不難看出, ④中的最後得出的式子相當於求x=1時 lnx 的導數, 注: 求lnx的導數就是△x -> 0, (ln(x + △x) - lnx) / △x , ;
⑥. 大家都知道 lnx的導數是 1/x, 當x = 1 時, lnx的導數是1, 所以ln(1+1/x)^x = 1, 所以 (1+1/x)^x = e (x -> ∞)
注: 這也是計算e的值得方法, x的值越大, e的值越精確
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