1樓：楓默鬼哥樁
我來試試吧。。
1、解：
（1）∵a^3=0 ∴|a|^3=0 ∴|a|=0，即|a-0e|=0,∴0是矩陣a的一個特徵
設λ為矩陣a的任一特徵值，則存在非零向量x，使得ax=λx
上式兩邊同左乘矩陣a，得aax=(a^2)x=a(λx)=λax=(λ^2)x
∴λ^2是3階矩陣a^2的特徵值。同理，λ^3是矩陣a^3的特徵值。
即(a^3)x=(λ^3)x
又∵a^3=o,∴(a^3)x=(λ^3)x=0 ∵x≠0 ∴λ^3=0 即λ=0
即三階方陣a的3個特徵值全為0.
（2）這題我覺得不能。
∵矩陣a能和對角陣相似的充分必要條件是存在n個線性無關的特徵向量。
對於題中的三階方陣a，由（1）的討論可知其三個特徵值全為0.
下面用反證法證明。
假設三階方陣a能與對角陣相似。
則a存在3個線性無關的特徵向量。
則齊次線性方程組ax=0的基礎解系中有三個向量，即ax=0的解集的秩為3
設ax=0的解集為s，則r(a) r(s)=n=3
∵r(s)=3,∴r(a)=0
即矩陣a的秩為0.當且僅當a=o
又∵根據題設條件，a^2≠o,顯然a≠o，與上面推出的a=o矛盾
∴假設不成立，即a不能和一個對角陣相似
2、證明：
設齊次線性方程組ax=0的基礎解係為α1，α2，...，αr，設其基礎解系的秩為r
設向量組β1，β2，...，βn是與ax=0的基礎解系等價的線性無關的向量組
∵向量組β1，β2，...，βn線性無關 ∴向量組的秩r(β1，β2，...，βn)=n
又∵向量組α1，α2，...，αr與向量組β1，β2，...，βn等價
∴r(α1，α2，...，αr)=r(β1，β2，...，βn)=n 即n=r
向量組β1，β2，...，βn中有r個向量β1，β2，...，βr
且向量組β1，β2，...，βr可由向量組α1，α2，...，αr線性表示
即對於其中任何一個向量βi=ki1*α1 ki2*α2 ... kir*αr
∴向量組β1，β2，...，βr中的每一個向量都是齊次線性方程組ax=0的一個解向量
又∵齊次線性方程組ax=0的解集中的最大無關組的秩為r
∴向量組β1，β2，...，βr是ax=0的解集中的一個最大無關組
即向量組β1，β2，...，βr是ax=0的一個基礎解系，命題得證
不懂寫的對不對。我也剛學的。錯了請指教。。
2樓：
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