逆矩陣怎麼求

1樓：曉曉休閒

1、初等變換法

將一n階可逆矩陣a和n階單位矩陣i寫成一個nx2n的矩陣對b施行初等行變換，即對a與i進行完全相同的若百幹初等行變換，目標是把a化為單位矩陣。當a化為單位矩陣i的同時，b的右一半矩陣同時化為了a的逆矩陣。

如求的逆矩陣a-1。

故a可逆並且，由右一半可得逆矩陣a-1=

2、伴隨矩度陣法

如果矩陣

可逆，則

注意：中元素的排列特點是的第k列元素是a的第k行元素的代數餘子式。要問求得

即為求解

的餘因子矩陣的轉置矩陣。a的伴隨矩陣為

，其中aij=（答-1）i+jmij稱為aij的代數餘子式。

2樓：雨說情感

1、伴隨矩陣法

如果矩陣a可逆，則

的餘因子矩陣的轉置矩陣。

（|a|≠0，|a|為該矩陣對應的行列式的值）

a的伴隨矩陣為

其中aij=（-1）i+jmij稱為aij的代數餘子式。

2、初等行變換法

在行階梯矩陣的基礎上，即非零行的第一個非零單元為1，且這些非零單元所在的列其它元素都是0。綜上，行最簡型矩陣是行階梯形矩陣的特殊形式。

一般來說，一個矩陣經過初等行變換後就變成了另一個矩陣，當矩陣a經過初等行變換變成矩陣b時，一般寫作可以證明：任意一個矩陣經過一系列初等行變換總能變成行階梯型矩陣。

方法是一般從左到右，一列一列處理先把第一個比較簡單的(或小)的非零數交換到左上角(其實最後變換也行)。

用這個數把第一列其餘的數消成零處理完第一列後，第一行與第一列就不用管，再用同樣的方法處理第二列(不含第一行的數)。

擴充套件資料

性質定理：

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣a是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、a的逆矩陣的逆矩陣還是a。記作（a-1）-1=a。

4、可逆矩陣a的轉置矩陣at也可逆，並且（at）-1=（a-1）t (轉置的逆等於逆的轉置）

5、若矩陣a可逆，則矩陣a滿足消去律。即ab=o（或ba=o），則b=o，ab=ac（或ba=ca），則b=c。

6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

3樓：jq左

矩陣的逆「幾何含義」就是矩陣的反向操作，如放大逆操作就是縮小，順時針逆操作旋轉就是逆時針旋轉，如果是一個1*1的矩陣即一個數，它的逆就是其倒數。矩陣可逆的條件是其行列式不為零，如果為零則該矩陣為奇異矩陣，空間的維度與矩陣的維度不相等，也就是說其與原矩陣的乘積不可能為單位矩陣。這麼看0的倒數不為零的線性代數解釋就是該1*1矩陣的行列式為零，所以其逆不存在。

1、逆矩陣定義

設a為一個n階方陣，若存在另一個n階矩陣b，使得：ab = ba = i。則稱b是a的逆矩陣，而a則被稱為可逆矩陣。

2、求逆矩陣的方法：初等行變換法

將一n階可逆矩陣a和n階單位矩陣i寫成一個nx2n的矩陣，計為b矩陣。對b進行初等行變換，目標是把a化為單位矩陣。當a化為單位矩陣的同時，b的右一半矩陣同時化為了a的逆矩陣。

function a_inv = matrix_inverse(a)

% 對矩陣進行初等行變換求其逆

[row, col] = size(a);

% b為單位矩陣

b = eye(row);

for i = 1 : row

% 依次將對角行的元素歸一化

div_i = a(i, i);

for j = 1 : col

a(i, j) = a(i, j) / div_i;

b(i, j) = b(i, j) / div_i;

endfor ii = 1 : row

tmp_ii = - a(ii, i) / a(i, i);

if i == ii

tmp_ii = 0;

end% 初等行變換

for jj = 1 : col

a(ii, jj) = a(ii, jj) + tmp_ii * a(i, jj);

b(ii, jj) = b(ii, jj) + tmp_ii * b(i, jj);

endend

enda_inv = b;

4樓：

矩陣的逆等於伴隨矩陣除以矩陣的行列式，所以現在只要求原矩陣的行列式即可。 a^*=a^(-1)|a|, 兩邊同時取行列式得 |a^*|=|a|^2 （因為是三階矩陣）又|a^*|=4,|a|>0,所以|a|=2 所以a^(-1)=a^(*)/2,就是伴隨矩陣除以2。特殊求法：

（1）當矩陣是大於等於二階時：主對角元素是將原矩陣該元素所在行列去掉再求行列式，非主對角元素是原矩陣該元素的共軛位置的元素去掉所在行列求行列式乘以， x，y為該元素的共軛位置的元素的行和列的序號，序號從1開始。主對角元素實際上是非主對角元素的特殊情況，因為x=y，所以，一直是正數，沒必要考慮主對角元素的符號問題。

（2）當矩陣的階數等於一階時，伴隨矩陣為一階單位方陣。（3）二階矩陣的求法口訣：主對角線元素互換，副對角線元素加負號。

擴充套件資料：若|a|≠0，則矩陣a可逆，且其中，a*為矩陣a的伴隨矩陣。證明：

必要性：當矩陣a可逆，則有aa-1=i 。（其中i是單位矩陣）兩邊取行列式，det（aa-1）=det（i）=1。

由行列式的性質：det（aa-1）=det（a）det（a-1）=1 則det（a）≠0，（若等於0則上式等於0）充分性：有伴隨矩陣的定理，有（其中是的伴隨矩陣。

）當det（a）≠0，等式同除以det（a），變成比較逆矩陣的定義式，可知逆矩陣存在且逆矩陣

5樓：your大頭兵

求逆矩陣常用的有兩種方法：

伴隨陣法：a^(-1)=(1/|a|)×a* ，其中a^(-1)表示矩陣a的逆矩陣，其中|a|為矩陣a的行列式的值，a*為矩陣a的伴隨矩陣。

行初等變換法：(a|e)經過初等變換得到(e|a^(-1))。

注意：初等變化只用行（列）運算，不能用列（行）運算。e為單位矩陣。

一般計算中，或者判斷中還會遇到以下11種情況來判斷是否為可逆矩陣：

1 秩等於行數

2 行列式不為0

3 行向量(或列向量)是線性無關組

4 存在一個矩陣，與它的乘積是單位陣

5 作為線性方程組的係數有唯一解

6 滿秩

7 可以經過初等行變換化為單位矩陣

8 伴隨矩陣可逆

9 可以表示成初等矩陣的乘積

10 它的轉置矩陣可逆

11 它去左(右)乘另一個矩陣，秩不變

可逆矩陣的性質

1 矩陣a可逆的充要條件是a的行列式不等於0。

2 可逆矩陣一定是方陣。

3 如果矩陣a是可逆的，a的逆矩陣是唯一的。

4 可逆矩陣也被稱為非奇異矩陣、滿秩矩陣。

5 兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

6 可逆矩陣的轉置矩陣也可逆。

7 矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

求解逆矩陣的舉例，對於如下行列式a：（以二階方陣為例）|3 0|

|2 1|

對於元素3，其代數餘子式是（-1）^(1+1)*1=1；對於元素0，其代數餘子式是（-1）^(1+2)*2=-2；對於元素2，其代數餘子式是（-1）^(2+1)*0=0；對於元素1，其代數餘子式是（-1）^(2+2)*3=3，所以矩陣a的伴隨陣a*是：

|1 0|

|-2 3|而a的行列式|a|=3*1-2*0=3所以a^（-1）=(1/|a|)*(a*)=

1/3|1 0|

|-2 3|

6樓：西域牛仔王

在 a 的右側接寫一個單位矩陣，然後對三行六列矩陣施行初等行變換，（1、交換任意兩行；2、一行乘以任意實數；3、一行乘以任意實數加到另一行）

把前面 a 化為單位矩陣，後面的單位矩陣就化為了 a 的逆矩陣。

你試試，一定能自己完成。

7樓：關振翱

逆矩陣的求法，你應該去問專業的人士，有專業的人來給你回答。

8樓：

對於簡單的2*2矩陣，可以把逆矩陣的四個數都設為abcd然後和原矩陣相乘，使成績成為單位矩陣，分別求出abcd即可，3*3矩陣也可以這樣求，設出9個數。

對於多行多列的矩陣以上方法就麻煩了，用一下方法：假設原矩陣是a，單位陣是e就是對角線上是1其餘全為0的矩陣，構造的新的矩陣是（a,e）的時候，（可看為分塊矩陣，就是兩個矩陣直接拼了起來）只進行初等行變換變為（e,b）則b就是他的逆。（a,e）看成是一個3行6列的矩陣，進行行變換，前面怎麼變，後面就是怎麼變，例如說第一行加上第二行，就是第一行的六個元素分別加上第二行的六個元素。

但是是以將前面3行3列化為單位陣為目的進行變換。（還有一種用列變換的原理一樣，會一種就好了。）

線性代數中的逆矩陣是怎麼求的？

9樓：喵喵喵

1、待定係數法

待定係數法顧名思義是一種求未知數的方法。將一個多項式表示成另一種含有待定係數的新的形式，這樣就得到一個恆等式。

然後根據恆等式的性質得出係數應滿足的方程或方程組，其後通過解方程或方程組便可求出待定的係數，或找出某些係數所滿足的關係式，這種解決問題的方法叫做待定係數法。

2、伴隨矩陣法

代數餘子式求逆矩陣：如果矩陣a可逆，則

（|a|≠0，|a|為該矩陣對應的行列式的值）

3、初等變換法

方法是一般從左到右，一列一列處理先把第一個比較簡單的(或小)的非零數交換到左上角(其實最後變換也行)，用這個數把第一列其餘的數消成零處理完第一列後，第一行與第一列就不用管，再用同樣的方法處理第二列(不含第一行的數)

擴充套件資料

性質定理：

1、可逆矩陣一定是方陣。

2、如果矩陣a是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

3、a的逆矩陣的逆矩陣還是a。記作（a-1）-1=a。

4、可逆矩陣a的轉置矩陣at也可逆，並且（at）-1=（a-1）t (轉置的逆等於逆的轉置）

5、若矩陣a可逆，則矩陣a滿足消去律。即ab=o（或ba=o），則b=o，ab=ac（或ba=ca），則b=c。

6、兩個可逆矩陣的乘積依然可逆。

7、矩陣可逆當且僅當它是滿秩矩陣。

10樓：風清響

-----------首先你要了解初等變換。------------------

初等變換就3種。

1. e12 就是吧12行（列）互換

2. e12(k)就是把第1行（列）的k倍加到第2（行）

3. e1（k）就是把第1行都乘上k

怎樣化行最簡：

這個其實很簡單，一步一步來不要話錯了就行了。無非就是要化成階梯形，然後再把階梯開頭的元素化為1，他頭頂上的元素化為0嘛

比如一個4階矩陣。

首先你要把第一列，除了第一個元素都化成0。那麼顯然，就是用第二行，第三行，第四行，去減第一行的k倍。假設。

第一行是（1,2,3,4）第二行第一個元素是3，那麼你用第二行減去第一行的3倍的話，頭一個元素不就肯定是0了嗎。然後假設第三行第一個元素是4，那麼就是第三行減去第一行的4倍。同理第四行也是一樣的。

此時你只要關注第一列的元素就行了，全力把他們化為0。等到完成的時候，矩陣就變成

1 2 3 4

0 * * *

這樣就出來一個階梯了對吧。

下面就是重複上面的工作。不過。不要在整個矩陣裡面進行了，因為如果你帶著第一行算的話，前面的0就肯定會被破壞了。

下面你就直接在* 的那個3階矩陣裡面進行。把原來的第二行 0 * * *當作第一行來化下面的，

完工之後就是

1 2 3 4

0 * * *

0 0 * *

不就又出來一個階梯嗎。

反覆這麼做最後就化成

1 2 3 4

0 * * *

0 0 * *

0 0 0 *

這個就是階梯形了吧。。

然後化最簡形就很簡單了。用初等變化的第3條。顯然我們可以吧最後一行的那個*除以他自己變成1

1 2 3 4

0 * * 4

0 0 * 4

0 0 0 1

然後他頭上的數，不論是多少都可以寫成0，因為不論是多少，總可以化為0吧，如果是2012，就減去第四行的2012倍嘛，反正第四行只有一個1，前面都是0，怎麼減都不會影響到前面的行

這樣就化成了

1 2 3 0

0 * * 0

0 0 * 0

0 0 0 1

很顯然，重複上面的過程就可以了，現在只要把第三行的那個*，除以自己，變成1，然後他頭上的也就全可以化為0了

1 2 0 0

0 * 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

再來一次。就ok了嘛

比如你求a的逆矩陣，就是把a的右邊拼上一個同階的單位陣變成（a|e）

1 2 3 1 0 0

4 5 6 0 1 0

7 8 9 0 0 1

然後把這個矩陣當作新的矩陣，然後就把左面那個部分化成單位陣（方法就是化最簡型嘛），當你把左面的部分化成單位陣之後，右邊就自動是a的逆矩陣了

（e|a逆）

就是這樣。嗯

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