1樓：行增嶽化鳥
可以用導數的知識來證明，證明如下：
設f(x)=x^5+x-1，則：
f(x)'=5x^4+1，當x取任意實數，都有5x^4+1>0。
所以：f(x)為增函式。
又因為f(0)=0+0-1=-1<0。
所以增函式f(x)必定與x軸有且只有一個交點，且這個交點在x=0的右邊。
即：x^5+x-1=0只有一個正根，得證。
擴充套件資料：
導數與函式的性質
單調性（1）若導數大於零，則單調遞增；若導數小於零，則單調遞減；導數等於零為函式駐點，不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
（2）若已知函式為遞增函式，則導數大於等於零；若已知函式為遞減函式，則導數小於等於零。
根據微積分基本定理，對於可導的函式，有：
如果函式的導函式在某一區間內恆大於零（或恆小於零），那麼函式在這一區間內單調遞增（或單調遞減），這種區間也稱為函式的單調區間。導函式等於零的點稱為函式的駐點，在這類點上函式可能會取得極大值或極小值（即極值可疑點）。
進一步判斷則需要知道導函式在附近的符號。對於滿足的一點，如果存在使得在之前區間上都大於等於零，而在之後區間上都小於等於零，那麼是一個極大值點，反之則為極小值點。
2樓：包公閻羅
y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函式單調增所以與x軸至多有一個交點
當x=0 y=-1
當x=1 y=1
所以 在(0,1)內有一個值使得y=0
所以x^5+x-1=0有一個正根
3樓：華♂陪你
證：設函式f(x)=x^5+x-1 假設方程f(x)=0存在兩不等實根x1,x2,即f(x1)=f(x2)=0 則在開區間（x1,x2）上必然存在一點ξ，使得f」(ξ)=0 事實上，f」(x)=5x^4+1>0恆成立，與假設矛盾！ 所以方程f(x)=0至多存在一個實根。
由因為f(0)=-1，f(1)=1,f(x)在（0,1）內必存在一實根。 綜上所述，方程x^5+x-1=0只有一正根
4樓：
f(x)=x^5+x-1
f'(x)=5x^4+1>0
函式f(x)在r上單調增
f(0)=-1<0 f(1)=1>0
在(0,1)內只有一個值使得f(x)=0
證明方程x^5+x-1=0只有一個小於一的正根
5樓：百小度
首先證明函式f(x)=x^5+x-1是連續的增函式（這個很容易，我就不寫證明過程了）。
然後用零點定理，f(0)*f(1)<0，所以在區間(0,1)有根。結合這兩點，原題得證。
6樓：皮皮鬼
建構函式f(x)=x^5+x-1
求導f'(x)=5x^4+1
知f'(x)＞0
故f(x)在r上是增函式
又有f(0)=-1
f(2)=32+2-1=33
知函式在(0.2)上只有一個零點
證明方程x^5-5x+1=0有且僅有一個小於1的正實根
7樓：116貝貝愛
證明如下：
x^5-5x+1=0
證明：f(x)=x^5-5x+1
f（0）=1，f(1)=-3，介值定理，有一個根x，使得f（x.）=0
設有x1在（0,1）x1不等於x。
根據羅爾定理，至少存在一個e，e在x.和x1之間，使得f'(e)=0
f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾
∴為唯一正實根
有界函式判定方法：
設函式f(x)是某一個實數集a上有定義，如果存在正數m
對於一切x∈a都有不等式|f(x)|≤m的則稱函式f(x)在a上有界，如果不存在這樣定義的正數m則稱函式f(x)在a上無界
設f為定義在d上的函式，若存在數m（l），使得對每一個x∈d有： ƒ(x)≤m（ƒ(x)≥l）。
則稱ƒ在d上有上（下）界的函式，m（l）稱為ƒ在d上的一個上（下）界。
根據定義，ƒ在d上有上（下）界，則意味著值域ƒ(d)是一個有上（下）界的數集。又若m(l)為ƒ在d上的上（下）界，則任何大於（小於）m（l）的數也是ƒ在d上的上（下）界。
根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界
。一個特例是有界數列，其中x是所有自然數所組成的集合n。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。
8樓：匿名使用者
x^5-5x+1=0
f(x)=x^5-5x+1
f（0）=1.f(1)=-3.介值定理。有一個根x。使得f（x。）=0
設有x1在（0，1）x1不等於x。根據
羅爾定理，至少存在一個e，e在x。和x1之間，使得f'(e)=0.
f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾，所以為唯一正實根
9樓：匿名使用者
δ=25-4=21>0 有根
x1+x2=5 x1×x2=1
相乘為正 可以判斷出 兩根通號 相加為正 可判斷兩根同為正相乘為1 說明兩根不可能都小於1或大於1， 那麼只有一個大於1 一個小於1
所以方程有且只有一個小於1的正實根
10樓：追逐天邊的彩雲
題目好像有問題，不妨令f(x)=x^5-5x+1,可得f(1)=-3,f(3)>0,函式在次區間單調，由零點定理故在1到3之間也有根。反正這類題目考慮單調性和零點定理就能搞定。
大學數學題！求解！！！證明：方程x^5+2x-100=0有且只有一個正根。
11樓：呵呵
單調性 很簡單 找個x代入使值＜100再找個大於100的 有且只有一個正根在這兩個數範圍內
12樓：匿名使用者
假設函式f（x）=x5+2x-100,求導f（x）=5x4+2,大於0，所以原函式單調遞增，f（2）小於0，f（3）大於0，所以有唯一正根在2,3之間。不需要大學知識，高中知識就夠了。
13樓：擊流
x^5+2x-100=0
x^5+2x=100
當x<0時，x^5+2x<0≠100,
x^5+2x=100,不成立.
當x>0時，x^5+2x>0,
方程x^5+2x-100=0，只有一個正根成立.
當x＝2時，x^5+2x＝36
當x＝3時，x^5+2x＝249
用二分法可以求得它的近似解。
所以方程x^5+2x-100=0有且只有一個正根在數學上成立。
14樓：匿名使用者
x^5+2x-100=0
x(x^4+2)-100=0
x^4+2>0,x=100/(x^4+2)>0x是正數
證明方程x^5+2x-1=0只有一個正根
15樓：匿名使用者
設f(x)=x^5+2x-1 f'(x)=5x^4+2>0 所以函式f(x)=x^5+2x-1為增函式。f(0)=-1 f(1)=2所以在（0,1）之間有一根。方程x^5+2x-1=0只有一個正根
證明x^5+x-1=0只有一個正根
16樓：我是一個麻瓜啊
可以用導數的知識來證明，證明如下：
設f(x)=x^5+x-1，則：
f(x)'=5x^4+1，當x取任意實數，都有5x^4+1>0。
所以：f(x)為增函式。
又因為f(0)=0+0-1=-1<0。
所以增函式f(x)必定與x軸有且只有一個交點，且這個交點在x=0的右邊。
即：x^5+x-1=0只有一個正根，得證。
17樓：匿名使用者
x^5-1=(x-1)(x^4+x³+x²+x+1)=0顯然x=1是一個實根
因此只要證明x^4+x³+x²+x+1=0沒有實根即可.
當x=0時,上式左右兩邊不等,因此x=0不是方程的根當x≠0時,對上式左邊進行因式分解.
x^4+x³+x²+x+1
=x²(x²+2+1/x²+x+1/x-1)=x²[(x+1/x)²+(x+1/x)+1/4-5/4]=x²[(x+1/x+1/2)²-5/4]∵x≠0,∴x²>0
x+1/x+1/2≥2√(x*1/x)+1/2=5/2,當且僅當x=1/x,即x=±1時取等號.
∴(x+1/x+1/2)²≥25/4>5/4即(x+1/x+1/2)²-5/4>0
∴考慮x=0時左邊=1>0,可知對任意實數x,x^4+x³+x²+x+1>0恆成立
即x^4+x³+x²+x+1=0無實根
∴原方程有且只有一個實根.
18樓：吉祿學閣
可以用導數的知識來證明，主要步驟如下：
設f(x)=x^5+x-1,則：
f(x)'=5x^4+1，當x取任意實數，都有5x^4+1>0.
所以：f(x)為增函式。
又因為f(0)=0+0-1=-1<0.
所以增函式f(x)必定與x軸有且只有一個交點，且這個交點在x=0的右邊。
即：x5+x-1=0只有一個正根，得證。
19樓：匿名使用者
y=x^5+x-1
y′=5x^4+1>0
所以 函式單調增所以與x軸至多有一個交點
當x=0 y=-1
當x=1 y=1
所以 在(0,1)內有一個值使得y=0
很高興為你解答有用請採納
20樓：煉焦工藝學
利用函式的單調性證明，最為直觀
設f(x)=x∧5＋1
則 f'(x)=5x∧4≥0
∴f(x)=x∧5＋1在r上單調遞增
∵f(-2)＜0； f(1)＞0
∴必存在一點a∈[-2,1]，使f(a)=0∴x∧5＋1=0只有一個實數根
微分中值定理與導數的應用，證明方程x^5+x-1=0只有一個正根，此類題怎麼寫？
21樓：匿名使用者
方程求導5x^4+1，導數恆正，所以單調遞增。
f(0)=-1<0，f(+∞)=+∞>0，所以有且只有一個正根。
此類題的解法：找出要求的x區間（本題是0~+∞）、證明函式在該區間上連續且單調、證明函式在區間左右端點上的值分別位於指定值（本題是0）兩側。即可證明函式在該區間內有且只有一解。
用微分中值定理證明方程x5 x一1 0只有正根？速求解
假面 具體回答如下 令f x x5 x 1 f x 5x 4 1 當x 0,時，f x 恆大於0，f x 在 0,單增f 1 2 0 f 1 0 所以根據介值定理知f x 在 1 2,1 中間只有一個正根中值定理的應用 無窮小 大 量階的比較時，看到兩個無窮小 大 量之比的極限可能存在，也可能不存在...
證明x 5 1 0只有實數根，證明x 5 1 0只有一個實數根
x 5 1 x 1 x 4 x x x 1 0顯然x 1是一個實根 因此只要證明x 4 x x x 1 0沒有實根即可.當x 0時,上式左右兩邊不等,因此x 0不是方程的根當x 0時,對上式左邊進行因式分解.x 4 x x x 1 x x 2 1 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 ...
如何證明方程X 3 X 1 0無有理數解
證明如下 假設存在有理數解x p q，則p q互素，p q z p q 3 p q 1 0方程兩邊乘以q 3，得到 p 3 pq 2 q 3 0 p q p 2 pq q 2 pq 2問題在於p q與p,q互質，於是只有p 1或q 1。很容易證明不可能 一元三次方程求解 卡爾丹諾法的基本思想是 將x...