1樓：匿名使用者
解: |a-λe| =
1-λ 4 2
0 -3-λ 4
0 4 3-λ
= (1-λ)[(-3-λ)(3-λ)-16]
= (1-λ)[λ^2-25]
= (1-λ)(λ-5)(λ+5)
所以 a的特徵值為 1,5,-5
a-e 用初等行變換化為
0 1 0
0 0 1
0 0 0
(a-e)x=0 的基礎解係為 a1=(1,0,0)^t.
所以 a 的屬於特徵值1的全部特徵向量為 k1(1,0,0)^t, k1為任意非零常數.
a-5e 用初等行變換化為
1 0 -1
0 1 -1/2
0 0 0
(a-5e)x=0 的基礎解係為 a2=(1,1/2,1)^t.
所以 a 的屬於特徵值5的全部特徵向量為 k2(1,1/2,1)^t, k2為任意非零常數.
a+5e 用初等行變換化為
1 0 -1
0 1 0
0 0 0
(a+5e)x=0 的基礎解係為 a3=(1,-2,1)^t.
所以 a 的屬於特徵值-5的全部特徵向量為 k3(1,-2,1)^t, k3為任意非零常數.
令p=(a1,a2,a3)=
1 1 1
0 1/2 -2
0 1 1
則p可逆,且 p^-1ap=diag(1,5,-5)
所以 a=pdiag(1,5,-5)p^-1.
故有 a^k = pdiag(1,5,-5)^kp^-1 = pdiag(1,5^k,(-5)^k)p^-1 = (1/5)*
5 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k-5
0 4*(-5)^k + 5^k 2*5^k-2*(-5)^k
0 2*5^k-2*(-5)^k (-5)^k+4*5^k
k=100 代入可得結果
2樓：匿名使用者
`│ 1 0 5^100-1 │
a^100 = │ 0 5^100 0 │
│ 0 0 5^100 │
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