1樓：天下會無名
給切線法的證明。我們已知等號成立條件為x=y=z=1/3。
考慮構造區域性不等式：
(3+x)/(1+x^2)-3<=(-9/10)(x-1/3)..............(1)
上式等價於：9x^3-33x^2+19x-3<=0
<=>9(x-3)(x-1/3)^2<=0
由於x,y,z∈r+且x+y+z=1，可知0 那麼同理有(3+y)/(1+y^2)-3<=(-9/10)(y-1/3)............(2) (3+z)/(1+z^2)-3<=(-9/10)(z-1/3)...............(3) (1)+(2)+(3)即得： (3+x)/(1+x^2)+(3+y)/(1+y^2)+(3+z)/(1+z^2)-9<=(-9/10)(x+y+z-1)=0 即為原不等式。 得證。。 2樓：李大為 因為1+x^2=8/9+(1/9+x^2)>=8/9+2√(1/9*x^2)=8/9+2x/3 (x=1/3時取等） 所以（3＋x）/(1+x^2) <=(3+x)/(8/9+2x/3)=9/2*(3+x)/(4+x)=9/2*[1-1/(4+x)] 同理（3＋y）/(1+y^2) <=9/2*[1-1/(4+y)] （3＋z）/(1+z^2) <=9/2*[1-1/(4+z)] 當x=y=z=1/3時取等 所以（3＋x）/(1+x^2) + (3+y)/(1+y^2) +(3+z)/(1+z^2) ≤9/2* 而1/(4+x)+1/(4+y)+1/(4+z) =[1/(4+x)+1/(4+y)+1/(4+z)]*[(4+x)+(4+y)+(4+z)]/13 =/13 >=(3+2+2+2)/13=1 (用了3次均值不等式，去等條件為x=y=z=1/3) 所以（3＋x）/(1+x^2) + (3+y)/(1+y^2) +(3+z)/(1+z^2) ≤9/2*<=9/2*(3-1)=9 3樓： 很簡單的切線法。。（以直代曲，跟線性的條件聯絡起來） 具體操作見樓上 首先注意如下關係 x 2y z y 2z x z 2x y xy 2 z yz 2 x zx 2 y xy z x y yz x y z zx y z x xy z x y yz x y z zx y x y zx y y z xy z zx y x y yz x zx y y z y z x y ... 夜的眼睛 證 設f x lnx則 f x 1 x 根據拉格朗日中值定理f a f b f u a b 0 1 u lna lnb a b 所以lna b a b u,又因為 0 設a b 0,證明 a b a tony羅騰 證 設f x lnx則 f x 1 x 根據拉格朗日中值定理f a f b ... 1 令a b c 0 則a b 1，a b a a b b，a a b b a b b b.1 同理 b b c c b c c b 2 a a c c a c c a 3 三式相乘得 a 2a b 2b c 2c a b c b c a c a b 2 a b a 4 6a 2 b 2 b 4 4...證明不等式！求大神
求證明不等式a b alna ba b b ab
高二不等式證明