1樓：匿名使用者
證明：構造：f(x)=lnx，其中x∈(a,b)根據拉格朗日中值定理：
(lnb-lna)/(b-a) = f'(ξ) = 1/ξ又∵ 1/ξ > 1/b
而：2a/(a²+b²)
≤2a/2ab
=1/b
因此：1/ξ >1/b≥2a/(a²+b²)∴(lnb-lna)/(b-a) >2a/(a²+b²)
2樓：匿名使用者
取特值。a取1，b取e。
設0
3樓：匿名使用者
設f(x)=ln x，則f(x)在[a，b]上連續，在(a，b)上可導，
則至少存在一點c∈(a，b)使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
f'(x)=(ln x)'=1/x，左邊=(2a)/(a^2+b^2)<2a/2ab=1/b=f'(b)
右邊=1/(ab)^0.5>1/(a*a)^0.5=1/a=f'(a)，中間部分=f'(c)
則要比較f'(a)，f'(b)，f'(c)三者的大小。
又有f"(x)=-1/x^2，當x>0時，f"(x)<0，所以f'(x)單調遞減
因為a
如何利用拉格朗日中值定理證明不等式1/（1+x0)？
4樓：
做輔助函式f(t)=ln(1+t),則f在[0,x]上連續且可導.由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(0)=f'(α)(x-0)（0<α
由於0<α
故1/(1+x)<1/(1+α)<1,
從而x/(1+x)
令x=1/x即得1/1+x
不等式證明:a^2/(a^2+b^2)<(lnb-lna)/(b-a)<1/((ab)^(1/2))
5樓：
第一部分打錯了,是2a?
a,b大小有條件麼？a>b? b>a?
不好意思，確實有點難度
我在想....
那我就給你證右邊就行了
用這個中值定理:
(f(x1)-f(x2))/(g(x1)-g(x2))=f'(p)/g'(p)
其中 x12
急求如何證明不等式2a/a^2+b^2
6樓：
兄弟，寫清楚點，我感覺你的不等式寫的有錯吧，哪少了括號？
求證（lnb )^2-（lna）^2>2（b-a）/e^2 設e＜a＜b＜e^2
7樓：檢玉枝禽緞
設f(x)=(lnx)^2
一階導數是f'(x)=2(lnx)/x
二階導數是f''(x)=2(1-lnx)/x^2由微分中值定理：存在ξ，其中a<ξ
e時,f''(x)<0,因此f'(x)在x>e時是減函式，由於e<ξf'(e^2)
於是f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)>f'(e^2)(b-a)
即:(lnb)^2-(lna)^2
>(4/e^2)(b-a)
求證（lnb )^2-（lna）^2>2（b-a）/e^2 設e＜a＜b＜e^2
8樓：匿名使用者
設f(x)=(lnx)^2 一階導數是f'(x)=2(lnx)/x 二階導數是f''(x)=2(1-lnx)/x^2 由微分中值定理：存在ξ，其中a(4/e^2)(b-a)
. 設e< a
9樓：匿名使用者
設f(x)=(lnx)^2
一階導數是f'(x)=2(lnx)/x
二階導數是f''(x)=2(1-lnx)/x^2由微分中值定理：存在ξ，其中a<ξe時,f''(x)<0,因此f'(x)在x>e時是減函式，由於e<ξf'(e^2)
於是f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)>f'(e^2)(b-a)
即:(lnb)^2-(lna)^2 >(4/e^2)(b-a)
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