關於增根的題目,及解題方法和答案

時間 2021-09-13 06:06:32

1樓:

主要是理解題意。理解好了就會了

2樓:匿名使用者

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3樓:匿名使用者

定義增根(extraneous root ),在分式方程化為整式方程的過程中,若整式方程的根使最簡公分母為0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根

產生增根的**

對於分式方程,當分式中,分母的值為零時,無意義,所以分式方程,不允許未知數取那些使分母的值為零的值,即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以後,這種限制取消了,換言之,方程中未知數的值範圍擴大了,如果轉化後的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值,那麼就會出現增根。

(1)分式方程(2)無理方程

(3)非函式方程

分式方程增根介紹

在分式方程化為整式方程的過程中,若整式方程的根使最簡公分母為0,(根使整式方程成立,而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根

例: x/(x-2)-2/(x-2)=0

解:去分母,x-2=0

x=2但是x=2使x-2和x^2-4等於0,所以x=2是增根

分式方程兩邊都乘以最簡公分母化分式方程為整公分母的值不為0,則此解是分式方程的解,若最簡公分母的值為0,則此解是增根。

例如: 設方程 a(x)=0 是(x)=0 的根,稱 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程b(x)=0 的根但不是a(x)=0 的根,稱x=b 是方程b(x)=0 的失根.

非函式方程增根介紹

在兩非函式方程(如圓錐曲線)聯立求解的過程中,增根的出現主要表現在定義域的變化上。

例如:若已知橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0),o為原點座標,a為橢圓右頂點,若橢圓上存在一點p,使op⊥pa,求橢圓的圓心率的範圍。

存在一種解法:

橢圓上存在一點p,使op⊥pa,即是以oa為直徑畫圓,要求與橢圓有除了a(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程:

(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1

(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)

因為有兩個根,所以△>0

∴△=(2b^2-a^2)>0

∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根號二)

而正解卻是

由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2

∴0∴(1/2)^(1/2)

然而問題出在,無論怎麼取,只要e≠(1/2)^(1/2),好像△永遠都》0

於是我們取e=1/2

假設 a^2=4 b^2=3 c^2=1

即可得橢圓(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

與圓x^2+y^2-2x=0···②

聯立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

有十字相乘 x1=2 x2=6

顯然 此時 x2=6是增根

將x2=6 帶入①式 y^2= -24

將x2=6 帶入②式 y^2= -24

將x2=6 帶入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

可知這裡的的確確是產生了一個增根,而且在解題過程中不能通過任何方式排除,這說明多個非函式方程聯立求解時,方程本身無法限制x的取值。一般來說,直線與圓錐曲線的聯立並沒有出現過算出兩個解,還需要帶回去驗根的情況,大概是因為圓錐曲線不是函式,而直線是函式的原因。

不過值得注意的是:

①不是任何的兩個非函式方程聯立都會產生增根。例如圓不是函式,但求兩個圓的交點,不會產生曾根。

②增根的產生和定義域有關係,但沒有絕對的關係。不能說聯立方程時,將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中,①式定義域(-2,2) ②式定義域(0,2)大多數人是在②式中,用x表示y,寫成y=ax-x^2,再帶入①式,產生了增根。

但是如果我們在①式中用x表示y,寫成y^2=b^2(1-x^2/a^2),再帶入②式,我們依然會得到增根。

下面列出兩種必然會出現增根的一般式:

①橢圓與拋物線

橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

可知,若x1>0,則x2<0,出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈r 。(另外我們還知道|x1|<|x2|)

②雙曲線與拋物線

雙曲線(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得

b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

可知,若x1>0,則x2<0,出現原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈r 。(另外我們還知道|x1|>|x2|)

無理數方程增根介紹

√ (2x^2-x-12)=x

解:兩邊平方得2x^2-x-12=x^2

得x^2-x-12=0

得x=4或x=-3(增根)

出現增根的原因是由於兩邊平方忽略了上式的x>0且根號內的值大於等於0.由於同樣的粗心,錯誤還會在無理不等式中體現

如何求增根

解分式方程時什麼根,往往是由於違反了方程的同解原理或對方程變形時粗心大意造成的。

1. 如果不遵從同解原理,即使解整式方程也可能出現增根.例如將方程x-2=0的兩邊都乘x,變形成x(x-2)=0,方程兩邊所乘的最簡公分母,看其是否為0,是0即為增根。

還可以把x代入最簡公分母也可。

增根是不可忽視性

許多人解方程時,得到了增根,比如說能量是負值,一般的人都會將這個忽視掉,但這些值是挺令人尋味的。著名的物理學家狄拉克利用相對論、量子力學尋找粒子的能量時,他發現某個粒子的能量和其動量緊密相關,即e2=p2+m2(p為動量,m為粒子的質量),解得e=±(p2+m2)^½,你肯定想保留正根,因為你知道能量不會是負值,但數學家們告訴狄拉克,你不能忽略負值,因為數學告訴我有兩個根,你不能隨便丟掉。

後來事實證明,第二個根,也就是為負的那個根,正是理論的關鍵:世界上既有粒子,也有反粒子。負能量就是用來解釋反粒子的。

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