1樓：匿名使用者
致說來，數學可分為初等數學與高等數學兩大部分。
初等數學主要包括兩部分：幾何學與代數學。幾何學是研究空間形式的學科，而代數學則是研究數量關係的學科。
初等數學基本上是常量的數學。
高等數學含有非常豐富的內容，它主要包含：
解析幾何：用代數方法研究幾何問題；
線性代數：研究如何解線性方程組及有關的問題；
高等代數：研究方程式的求根問題；
微積分：研究變速運動及曲邊形的求面積問題；作為微積分的延伸，物理類各系還要講授微分方程與偏微分方程；
概率論與數理統計：研究隨機現象，依據資料進行推理；
所有這些學科構成高等數學的基本部分，在此基礎上，建立了高等數學的巨集偉大廈。
我們這門課程要講的就是高等數學的重要分支——微積分。
微積分是17世紀後期出現的一個嶄新的數學學科，它在數學中佔據著主導地位，是高等數學的基礎。它包括微分學和積分學兩大部分。
微積分學的誕生標誌著高等數學的開始，這是數學發展史上的一次偉大轉折. 高等數學的研究物件、研究方法都與初等數學表現出重大差異. 初等數學應當為高等數學做哪些準備？
（1） 發展符號意識，實現從具體數學的運算到抽象符號運算的轉變. 符號是一種更為簡潔的語言，沒有國界，全世界共享，並且這種語言具有運算能力；
（2） 培養嚴密的邏輯思維能力，實現從具體描述到嚴格證明的轉變；
（3） 培養抽象思維的能力，實現從具體數學到概念化數學的轉變；
（4） 發展變化意識，實現從常量數學到變數數學的轉變.
微積分研究的物件是變數，它的基礎是實數，因此我們這一講要回顧一下初等數學知識中與實數密切相關的幾個概念。
教學內容
1． 1． 第一次數學危機
2. 實數、數軸與絕對值
3. 區間與鄰域
教學要求
1． 1． 瞭解第一次數學危機
2. 理解實數、數軸、絕對值的概念
3. 理解區間、鄰域的概念�
1．第一次數學危機
人們對數的認識**於自然數。自然數是數東西時「實物個數」的表示，從1開始，依次為1，2，3，4，…， ，…，其中 表示任意一個自然數。之後記帳中，為了表示收入和支出，引入正數和負數；在表明商品**、測量物體長度和重量時，又引入小數或分數。
顯然，社會生產發展的需要推動了數學的發展，但是這些推動是通過數學自身矛盾的發展而實現的。人們注意到，在對自然數進行加法和乘法的運算時，得到的結果仍然是自然數，例如3和7相加及相乘的結果為10和21，它們仍然是自然數，這說明，加法和乘法在自然數幾何中是暢行無阻的，我們稱之為自然數集對加法和乘法是封閉的。但是，兩個自然數的差就不一定是自然數了，例如，3減7就不再是自然數了。
為了使運算永遠可能，擴充自然數集：每個自然數與負號「－」結合在一起，產生一個負整數，再補充一個新符號「0」，這樣，我們就得到一個整數的集合：
…、－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，…
在整數集合中，加法、減法與乘法的運算也暢行無阻，因而整數集合對加法、減法和乘法是封閉的。但是兩個整數相除就可能不再是整數，這就引出了有理數的概念。
所有形如 的數的集合稱為有理數，其中 都是整數，且 。有理數集中含有全體整數與通常的分數。每個有理數有無窮多個表示方法。
在全體有理數的集合中，加、減、乘、除都可以暢行無阻（當然，0不能作除數），因而有理數對四則運算是封閉的。
有理數很重要，是人們實際中使用的數，是測量長度、面積、體積、溫度等各種量的工具。當把測量的刻度逐漸加細時，有理點密密麻麻到處都有，這是一個基本事實，稱之為有理數的稠密性。所謂有理數的稠密性，是指在任何兩個不等的有理數之間總能找到介於這兩個有理數之間的有理數。
在古代的數學家看來，與有理數對應的點充滿了數軸，即使是現在，尚未了解數軸性質的人也會這樣認為。因此，當發現在數軸上存在不與任何有理數對應的一些點時，在當時人們的心理上引起了極大的震驚，這個發現是早期希臘認得重大成就之一。它在公元前5世紀或6世紀的某一時期由畢達哥拉斯學派的成員首先獲得的。
這是數學史上的一個里程碑。畢達哥拉斯學派發現，沒有任何有理數與數軸上的這樣一點對應（如圖）：
距離 的長度，它等於邊長為1 的正方向的對角線長。後來，又發現數軸上還存在許多點也不對應任何有理數。因此必須發明一些新的數，使之與這樣的點對應；因為這些點不能是有理數，所以把它們稱為無理數。
根據勾股定理，邊長為1的正方形的對角線其長度為 ，為了證明點 不能由一個有理數表示，只須證明 是無理數即可，即 不能表示成為兩個正數之比的形式。這個結論用反證法可以得證。在推理過程中，使用了「2是素數」的性質。
同樣的推理可以證明任何素數的平方根都是無理數。如 等都是無理數。
無理數的發現推翻了早期希臘人堅持的另一信念：給定的任何兩個線段，必定能找到第三根線段，也許很短，使得給定的線段都是這個線段的整數倍。事實上，即使現代人也會這樣認為，如果他還不知道情況並非如此的話。
現在我們取一個正方形，設它的邊長為 ，對角線長為 ，並知道 ＝ 。取定這兩個線段；如果存在第三個線段 ，使得 和 都包含 的整數倍，我們就有 = ， = ，這裡 是整數。由 ＝ 得 ＝ ，從而 ，即 ，這是一個有理數，顯然這與 是無理數矛盾，這說明存在不可公度的線段，即不具有公度量的線段。
無理數與不可公度量的發現在畢達哥拉斯學派的內部引起了極大的震動。首先，這時對畢達哥拉斯哲學思想的核心，即「萬物皆依賴於正數」的致命一擊：既然像 這樣的無理數不能寫成兩個正數之比，那麼它究竟怎樣依賴於整數呢？
其次，這與通常的直覺相矛盾，因為人們在直觀上總是認為任何兩個線段都是可公度的，而畢達哥拉斯學派的比例和相似的全部理論都是建立在這一假設之上的，突然之間基礎坍塌了，已經確立的幾何學的大部分內部內容必需拋棄，因為他們的證明失效了。數學基礎的嚴重危機爆發了。這個「邏輯上的醜聞」是如此可怕，以致畢達哥拉斯學派對此嚴守祕密。
這個「邏輯上的醜聞」是數學基礎的第一次危機，既不容易，也不能很快地被消除。大約在公元前370年，才華橫溢的希臘數學家歐多克索斯以及柏拉圖和畢達哥拉斯的學生阿契塔給出兩個比相等的定義，從而巧妙地消除了這一「醜聞」。他們給出的定義與所設計的量是否可公度無關。
啟示這也是自然的，因為兩個線段的比本來與第三個線段無關。當然從理論上徹底克服這一危機還有待於現代實數理論的建立。在實數理論中，無理數可以定義為有理數的極限，這樣又恢復了畢達哥拉斯的「萬物皆依賴於整數」的思想。
2．實數、數軸與絕對值
實數實數由有理數和無理陣列成。有理數是指能表為兩個整數相除形式的數，包括整數、分數、有限小數、無限迴圈小數，如2001， ， ，0.313 313 …，等等 ；無理數是指無限不迴圈小數，即不能表為兩個整數相除形式的數，如 ， ， ， ，等等。
實數按照以下方法分類，形成實數系表：
實數有加、減、乘、除、乘方、開方等運算，其中，加法與減法、乘法與除法、乘方與開方互為逆運算。下面列出這些運算的一些規則：
（1）交換律
（2）結合律
（3）分配律
數軸在幾何上，可以用數軸上的點來表示實數。
數軸是一條直線，它的兩端可以無限延長，如圖。
在此直線上選定一個原點 ，再選定一個長度單位，在該直線的一方畫一個箭頭表示正向，而另一方為負向。習慣上，如果該直線是水平的，則選右方向為正向，如果該直線是垂直的，則選上方向為正向。任意給定一個實數 ，按照下列規則在數軸上定出一個表示 的點，該點在直線的正方向還是負方向取決於數 是正數還是負數，該點到原點的距離等於 的絕對值 。
這樣，就可以建立起實數的全體和數軸之間的一一對應關係。換句話說，任意給定一個實數，總可以在數軸上找到唯一的一個點與之對應，反之，在數軸上的每一個點也必定唯一地對應與一個實數，基於這種一一對應關係，可以把一個實數 和數軸上與之對應的點 不加區別地看待。
絕對值我們知道，對於實數 ，如果它是正的，則其絕對值 ＝ ，如果它是負的，則其絕對值 ＝－ ，如果 ＝0，則 。若用式子表示，即為
在數軸上， 表示點 到原點的距離。顯然， 表示點 到點 之間的距離。
絕對值有下列性質：
（1） ，且 等價於 ＝0
（2）（3）（4）（5）（6）假設 ，一般地有
，或 。
3．區間與鄰域
區間設 是兩個實數，且 ，滿足不等式
的一切實數 的全體稱為開區間，記作 。滿足不等式
的一切實數 的全體稱為閉區間，記作 。
其中 稱為區間的端點。在幾何上， 和 都表示數軸上點 和點 之間的線段，開區間 不包含端點 和 ，閉區間 包含端點 和 。類似地，對於滿足不等式
或 的一切實數 的全體稱為半開區間，分別記作 或 。
當 時， 稱為上述四個區間的長度。
為了討論方便，引入記號「＋ 」（讀作「正無窮大」）和「－ 」（讀作「負無窮大」），並規定：
（－ ，＋ ）表示全體實數，或記為－ （－ , ）表示滿足不等式 的一切實數 的全體，或記為 ； ( ，+ ）表示滿足不等式 的一切實數 的全體，或記為 ； 即 。鄰域 設 和 是兩個實數，且 ，滿足不等式 的一切實數 的全體稱為點 的 鄰域。點 稱為這鄰域的中心、 稱為這鄰域的半徑， 由於 即 ，因此點 的 鄰域就是開區間 。 在以後討論極限和導數概念時，經常要用到去心鄰域的概念，去心鄰域是指滿足不等式 且 的一切實數 的全體。 思考題： 簡述消除第一次數學危機解決了什麼問題？ 數學家——畢達哥拉斯 畢達哥拉斯（pythagoras約公元前580～約前500） 古希臘哲學家、數學家、天文學家。生於薩摩斯（今希臘東部小島），卒於他林敦（今義大利南部塔蘭託）。早年曾遊歷埃及、巴比倫等地。 為了擺脫**，他移居義大利半島南部的克羅託內，在那裡組織了一個政治、宗教、數學合一的祕密團體。這個團體後來在政治鬥爭中遭到破壞，他逃到塔蘭託，後終於被殺害。 畢達哥拉斯學派有一種習慣，就是將一切發明都歸於學派的領袖，而且祕而不宣，以致後人不知是何人在何時所發明的。他們很重視數學，企圖用數來解釋一切。宣稱數是宇宙萬物的本源，研究數學的目的並不在於實用而是為了探索自然的奧祕。 畢達哥拉斯本人以發現勾股定理(西方稱畢達哥拉斯定理)著稱於世。這定理早已為巴比倫人和中國人所知，不過最早的證明大概可歸功於畢達哥拉斯學派。這個學派還有一個特點，就是將算術和幾何緊密聯絡起來，如把算術中的單位看作「沒有位置的點」，而把幾何的點看作「有位置的單位」。 他們發現用三個正數表示直角三角形邊長的一種公式： 分別是二直角邊，則斜邊是 。這公式屬於算術，又屬於幾何。 他們將自然數分為若干類：奇數，偶數，完全數，親和數；三角數（1，3，6，10，…)，平方數(1，4，9，16，…)，五角數（1，5，12，22，…)，等等；又注意的從1 起連續的奇數和必為平方和數。後面這幾類數都和幾何有關。 通過勾股定理，導致不可通約量的發現，是這個學派的重大貢獻。他們還發現五種正多面體。最初用正四面體、正六面體、正八面體和正二十四面體來表示火、土、氣、水四大元素，後來又發現正十二面體，沒有相應的第五種元素，於是就用來代表宇宙全體。 畢達哥拉斯還是**理論的鼻祖，它闡述了單絃的樂音與現場的關係。在天文方面，首創地圓說，認為日月五星都是球體，浮懸在太空中。畢達哥拉斯死後，這個學派還繼續存在兩個世紀之久。 它的思想和學說，對希臘文化有巨大的影響。 墨汁諾 聯絡 初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數 幾何以及簡單的集合論初步 邏輯初步稱為中等數學的，將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡。1 學習內容不同 初等數學含代數，平面幾何，立體幾何，三角，平面解析幾何，是高等數學的基礎。高等數學含空間解析幾何 微積分，... 為什麼沒用呢 求極限的話，我在qq空間上總結了。如果還有疑問，歡迎私聊。高等數學題目解法總結 1 剛剛總結完數學思想方法，乘熱打鐵再來總結一下高數題的解法。這裡先總結極限的各種解法 參考蔡老師的總結 一.求函式的極限 1.利用初等函式的連續性，把求函式極限轉化為求函式在那一點處的值 2.利用極限的運... 高等代數是代數學的一個分支，包括多項式理論和線性代數，沒有 高等函式 這概念，我估計你可能說的是 超越函式 高等數學是工科學的數學，包括數學分析的所有計算的內容，一點解析幾何的知識和一點常微分方程的知識，全都是計算，理論證明幾乎就沒有 數學分析是分析學的一個分支，它研究的就是古典分析，也就是連續函式...初等數學，中等數學，高等數學之間有什麼區別與聯絡
高等數學基本初等函式的幾個極限疑問
高等代數，高等函式，高等數學與數學分析的聯絡與區別