級數1 n sinn兀2的斂散性

1樓：曉龍老師

結果為：收斂。

解題過程：

∵n→∞時，sin(π/3^n)~π/3^n

∴級數∑(2^n)sin(π/3^n)與級數∑(2^n)[(π/3^n)]有相同的收斂性

∵∑(2^n)[(π/3^n)]=π∑(2/3)^n，是首項為1【或者2/3或其它定值，視n的起始值定】、公比q=2/3的等比數列，收斂

∴級數1/n*sinn兀/2收斂

求收斂級數的方法：

函式級數是形如∑an(x-x0)^n的級數，稱之為冪級數。它的結構簡單，收斂域是一個以為中心的區間（不一定包括端點），並且在一定範圍內具有類似多項式的性質，在收斂區間內能進行逐項微分和逐項積分等運算。

例如冪級數∑(2x)^n/x的收斂區間是[-1/2,1/2]，冪級數∑[(x-21)^n]/(n^2)的收斂區間是[1，3]，而冪級數∑(x^n)/(n!)在實數軸上收斂。

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數，正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列sm 有上界。

例如∑1/n！收斂，因為：sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/22+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

如果級數的每一項依賴於變數x,x 在某區間i內變化,即un=un(x),x∈i，則∑un(x)稱為函式項級數,簡稱函式級數。

若x=x0使數項級數∑un(x0)收斂，就稱x0為收斂點，由收斂點組成的集合稱為收斂域，若對每一x∈i，級數∑un(x)都收斂，就稱i為收斂區間。

2樓：匿名使用者

答：條件收斂

σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)當n為偶數時都收斂於0，所以只考慮奇數情況σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)= σ(n=1,∞) 1/(2n+1)*sin[ (2n+1)*π/2 ]

觀察sin[ (2n+1)*π/2 ]的變化：

n = 0，1

n = 1，- 1

n = 2，1

n = 3，- 1

...n = n，(- 1)^n

即σ(n=1,∞) 1/(2n+1)*sin[ (2n+1)*π/2 ]

= σ(n=1,∞) (-1)ⁿ/(2n+1)，是個交錯級數由萊布尼茲判別知：

①：通項極限等於0

②：在n趨向∞時，1/(2n+1)單調遞減並趨向0所以級數收斂

考慮絕對值級數σ(n=1,∞) 1/(2n+1)當n趨向∞時，通項趨向1/2n，即拿1/n比較而σ(n=1,∞) 1/n 為調和級數，是發散的結合上面兩種情況，σ (-1)ⁿa(n)收斂，σ a(n)發散所以σ(n=1,∞) 1/n*sin(nπ/2)為條件收斂