1樓：匿名使用者
十字相乘法的方法簡單點來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。 十字相乘法能把某些二次三項式分解因式。
這種方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩 十字相乘法個因數a1,a2的積a1.a2，把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1乘c2，並使a1c2+a2c1正好是一次項b，那麼可以直接寫成結果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，並體會它實質是二項式乘法的逆過程。
當首項係數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項係數的符號。 基本式子：x^2+（p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q)所謂十字相乘法,就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解.
比如說:把x^2+7x+12進行因式分解. .
上式的常數12可以分解為3×4,而3+4又恰好等於一次項的係數7,所以上式可以分解為:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) . 又如:
分解因式:a^2+2a-15,上式的常數-15可以分解為5×(-3).而5+(-3)又恰好等於一次項係數2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3).
講解： x^2-3x+2=如下： x -1 ╳ x -2 左邊x乘x=x^2 右邊-1乘-2=2 中間-1乘x+（-2）乘x（對角）=-3x 上邊的【x+（-1）】乘下邊的【x+（-2）】 就等於（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例題 例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先分解二次項係數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角，再分解常數項，分 別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然後交叉相乘，求代數和，使其等於一次項係數. 分解二次項係數(只取正因數 因為取負因數的結果與正因數結果相同！
)： 2=1×2=2×1； 分解常數項： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用畫十字交叉線方法表示下列四種情況： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘後，兩項代數和恰等於一次項係數－7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1).
一般地，對於二次三項式ax^2+bx+c(a≠0)，如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等於二次三項式ax2+bx+c的一次項係數b，即a1c2+a2c1=b，那麼二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即 ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像這種藉助畫十字交叉線分解係數，從而幫助我們把二次三項式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次項係數6及常數項-5，把它們分別排列，可有8種不同的排列方法，其中的一種 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正確的，因此原多項式可以用十字相乘法分解因式.
解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通過例1和例2可以看到，運用十字相乘法把一個二次項係數不是1的二次三項式因式分解，往往要經過多次觀察，才能確定是否可以用十字相乘法分解因式. 對於二次項係數是1的二次三項式，也可以用十字相乘法分解因式，這時只需考慮如何把常數項分解因數.
例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：
這個多項式可以看作是關於x的二次三項式，把-8y^2看作常數項，在分解二次項及常數項係數時，只需分解5與-8，用十字交叉線分解後，經過觀察，選取合適的一組，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解為兩個關於x，y的一次式.
例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式，只有先進行多項式的乘法運算，把變形後的多項式再因式分解.
問：以上乘積的因式是什麼特點，用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便? 答：
第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2(x-y)，它是第一個因式的二倍，然後把(x-y)看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關於(x-y)的二次三項式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=－3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出：
把(x-y)看作一個整體進行因式分解，這又是運用了數學中的“整體”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析：常數項(-15)<0，可分解成異號兩數的積，可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。
=(x-3)(x+5) 總結：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.
因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解： x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時，那麼 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b ╳ c d 編輯本段通俗方法 先將二次項分解成（1 x 二次項係數），將常數項分解成（1 x 常數項）然後以下面的格式寫 1 1 ╳ 二次項係數 常數項 若交叉相乘後數值等於一次項係數則成立 ，不相等就要按照以下的方法進行試驗。（一般的題很簡單，最多3次就可以算出正確答案。
） 需要多次實驗的格式為：（注意：此時的abcd不是指（ax^2+bx+c）裡面的係數，而且abcd最好為整數） a b ╳ c d 第一次a=1 b=1 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第二次a=1 b=2 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第三次a=2 b=1 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第四次a=2 b=2 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第五次a=2 b=3 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第六次a=3 b=2 c=二次項係數÷a d=常數項÷b 第七次a=3 b=3 c=二次項係數÷a d=常數項÷b ......
依此類推 直到（ad+cb=一次項係數）為止。最終的結果格式為(ax+b)(cx+d) 例解： 2x^2+7x+6 第一次：
1 1 ╳ 2 6 1x6+2x1=8 8>7 不成立 繼續試 第二次 1 2 ╳ 2 3 1x3+2x2=7 所以 分解後為:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某 編輯本段十字相乘法（解決兩者之間的比例問題）原理 一個集合中的個體，只有2個不同的取值，部分個體取值為a，剩餘部分取值為b。
平均值為c。求取值為a的個體與取值為b的個體的比例。假設總量為s， a所佔的數量為m，b為s-m。
則：[a*m+b*（s－m）]/s=c a/s*m/s+b/s*(s-m)/s=c m/s=(c-b)/(a-b) 1-m/s=(a-c)/(a-b) 因此：m/s∶（1-m/s）=（c-b）∶(a-c) 上面的計算過程可以抽象為：
a ………c-b ……c b……… a-c 這就是所謂的十字相乘法。x增加，平均數c向a偏，a-c（每個a給b的值）變小，c-b（每個b獲得的值）變大，兩者如上相除=每個b得到幾個a給的值。即比例，以十字相乘法形式展現更加清晰 十字相乘法使用時的注意 第一點：
用來解決兩者之間的比例問題。 第二點：得出的比例關係是基數的比例關係。
第三點：總均值放**，對角線上，大數減小數，結果放在對角線上。 例題 某高校2023年度畢業學生7650名，比上年度增長2%，其中本科畢業生比上年度減少2%，而研究生畢業數量比上年度增加10%，那麼，這所高校今年（2006）畢業的本科生有多少人？
十字相乘法 解：去年畢業生一共7500人，7650÷（1+2%）=7500人。 本科生：
-2%………8% …………………2% 研究生：10%……… -4% 本科生∶研究生=8%∶(-4%)=-2∶1。 去年的本科生：
7500×2/3=5000 今年的本科生：5000×0.98=4900 答：
這所高校今年畢業的本科生有4900人。 雞兔同籠問題 今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？ 十字相乘法 解：
假設全為雞腳則有70只腳，假設全為兔腳則有120只腳 雞： 70……… …46 ……………………94 兔：140……… …24 雞：
兔=46：24=23：12 答：
雞有23只，兔有12只。 編輯本段3.十字相乘法解一元二次方程 例1 把2x^2-7x+3分解因式.
分析：先 分解二次項係數， 分別寫在十字交叉線的左上角和左下角， 再分解常數項， 分別寫在十字交叉線的右上角和右下角， 然後交叉相乘， 求代數和，使其等於一次項係數. 分解二次項係數(只取正因數)：
2=1×2=2×1； 分解常數項： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：
11╳23 1×3+2×1=5 13╳21 1×1+2×3=7 1-1╳2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘後，兩項代數和恰等於一次項係數－7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1). 一般地，對於二次三項式ax^2+bx+c(a≠0)， 如果二次項係數a可以分解成兩個因數之積， 即a=a1a2， 常數項c可以分解成兩個因數之積， 即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2， 排列如下：
a1c1 ╳ a2c2 a1c2+a2c1 按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1， 若它正好等於二次三項式ax2+bx+c的一次項係數b， 即a1c2+a2c1=b， 那麼二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積， 即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 例2 把6x^2-7x-5分解因式. 分析：
按照例1的方法， 分解二次項係數6及常數項-5， 把它們分別排列， 可有8種不同的排列方法， 其中的一種 21╳3-5 2×(-5)+3×1=-7 是正確的，因此原多項式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通過例1和例2可以看到， 運用十字相乘法把一個二次項係數不是1的二次三項式因式分解， 往往要經過多次觀察， 才能確定是否可以用十字相乘法分解因式.
對於二次項係數是1的二次三項式， 也可以用十字相乘法分解因式， 這時只需考慮如何把常數項分解因數. 例如把x^2+2x-15分解因式， 十字相乘法是1-3╳ 15 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析：這個多項式可以看作是關於x的二次三項式， 把-8y^2看作常數項， 在分解二次項及常數項係數時， 只需分解5與-8，用十字交叉線分解後， 經過觀察，選取合適的一組， 即 12╳ 5-4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y). 指出：
原式分解為兩個關於x，y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：
這個多項式是兩個因式之積與另一個因數之差的形式， 只有先進行多項式的乘法運算， 把變形後的多項式再因式分解. 問：兩上乘積的因式是什麼特點，用什麼方法進行多項式的乘法運算最簡便?
答：第二個因式中的前兩項如果提出公因式2，就變為2(x-y)，它是第一個因式的二倍，然後把(x-y)看作一個整體進行乘法運算，可把原多項式變形為關於(x-y)的二次三項式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1-2╳ 21 1×1+2×(-2)=－3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1).
指出：把(x-y)看作一個整體進行因式分解， 這又是運用了數學中的“整體”思想方法.例5 x^2+2x-15 分析：
常數項(-15)<0，可分解成異號兩數的積， 可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5)， 其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。 =(x-3)(x+5) 總結：①x^2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解 這類二次三項式的特點是：
二次項的係數是1； 常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和. 因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解： x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解 如果能夠分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 時， 那麼 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳c d (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x^2+3x=0 (3) 6x^2+5x-50=0 (4)x^2-2( + )x+4=0 (1)解：
(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得 x^2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零) (x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x^2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程) ∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。 (3)解：
6x^2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=5/2, x2=-10/3 是原方程的解。 (4)解：x^2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
例題x^2-x-2=0 解：(x+1)(x-2)=0 ∴x+1=0或x-2=0 ∴x1=-1,x2=2 詞條圖冊更多圖冊 擴充套件閱讀： 1 .
十字相乘法能把某些二次三項式ax2+bx+c(a≠0)分解因式。這種方法的關健是把二次項的係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1?a2，把常數項c分解成兩個因數c1,c2的積c1?
c2，並使a1c2+a2c1正好是一次項係數b，那麼可以直接寫成結果：ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在運用這種方法分解因式時，要注意觀察，嘗試，並體會它實質是二項式乘法的逆過程。當首項係數不是1時，往往需要多次試驗，務必注意各項係數的符號。
2 .例：x2+2x-153 .
分析：常數項(-15)<0，可分解成異號兩數的積，可分解為(-1)(15)，或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5)，其中只有(-3)(5)中-3和5的和為2。4 .
1 2x 2 x 1 0 2 1 4x 2 6x 3 0 3 3x 2 4x 1 0 全部用配方法
x 2 1 2x 1 2 x 1 4 2 9 16，x 1 4 3 4，x 1 4 3 4，x1 1，x2 1 2。x 2 24x 12 x 12 2 132 x 12 2 33，x1 12 33，x2 12 33。x 2 4 3x 1 3，x 2 3 2 7 9 x 2 3 7 3 x1 2 7 ...
23X2X4十25x4X2十27x1X8十25X8X1用簡便計算
天堂蜘蛛 8 23 27 25 25 8 100 800 無心騎士 23x2x4十25x4x2十27x1x8十25x8x1 23x8 25x8 27x8 25x8 23 25 27 25 x8 100x8 800 平凡人生底蘊 23x8 25x8 27x8 25x8 8x 23 25 27 25 8...
已知函式f x 2x 3 3 a 1 x 2 6ax 8其中a R
f x 2x 3 3 a 1 x 2 6ax 8f x 6x 2 6 a 1 x 6af 3 54 18 a 1 6a 0a 3f x 0 for x 在 0 f x 6 x a x 1 0 x a 0 a xie a 0 1.df x dx 6x 2 6 a 1 x 6a函式f x 在x 3處取得...