如何證明狄利克雷函式每一點極限都不存在

1樓：橘落淮南常成枳

在某一點兩邊有無數個有理數和無數個無理數，故其兩邊的極限值是不確定的，所以某一點的極限值不存在。

狄利克雷函式的公式定義：

實數域上的狄利克雷（dirichlet）函式表示為：

（k，j為整數）也可以簡單地表示分段函式的形式d(x)= 0（x是無理數）或1（x是有理數）

狄利克雷函式是一個定義在實數範圍上、值域不連續的函式。狄利克雷函式的影象以y軸為對稱軸，是一個偶函式，它處處不連續，處處極限不存在，不可黎曼積分。這是一個處處不連續的可測函式。

極限思想：

在現代數學乃至物理學等學科中，有著廣泛的應用，這是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變數與常量、無限與有限的對立統一關係，是唯物辯證法的對立統一規律在數學領域中的應用。

藉助極限思想，人們可以從有限認識無限，從「不變」認識「變」，從「直線構成形」認識「曲線構成形」，從量變去認識質變，從近似認識精確。

「無限」與』有限『概念本質不同，但是二者又有聯絡，「無限」是大腦抽象思維的概念，存在於大腦裡。「有限」是客觀實際存在的千變萬化的事物的「量」的對映，符合客觀實際規律的「無限」屬於整體，按公理，整體大於區域性思維。

2樓：匿名使用者

對任意點x0，找數列，

xn1=x0+1/n，xn2=x0+√2/n則兩個數列都在右端趨近與x0，且任意項與x0不等。

而兩個數列所對應的函式列收斂於1和0，不等；有heine定理，在x0處右極限不存在。

同理左極限也不存在。所以任意點極限不存在。

dirichlet函式在任意點的單側極限不存在，如何證明……我只會證明極限不存在，單側極限不存在不

3樓：匿名使用者

狄利克雷函式任一點的單側極限也是不存在的，證明和雙側極限不存在的證明一樣。

4樓：匿名使用者

單側極限是一樣證明的：比如函式在0點有左極限的意思是：對於任意一個序列，xn < 0 ，有 d(xn) -> a (xn->0) 其中a就是d(x)在0點的左極限；

然而，取是趨於0的有理數(xn<0)，則d(xn) = 1 從而d(xn) -> 1 (xn->0)

取是趨於0的無理數(yn<0)，則d(yn) = 1 從而d(yn) -> 0 (yn->0)，

1和0不相等，所以左極限不存在

狄利克雷函式的極限存在，可導，連續性，希望哪個大神總結一下！

5樓：77曳曳

處處不連續，處處不收斂，處處不可導。

6樓：匿名使用者

它處處不連續；處處極限不存在；處處不可導

高等數學怎樣討論狄利克雷函式的連續性？

7樓：墨汁諾

該函式在有理

數點不連copy續，無理數點連續。

證明思路：因為實數域上有理數是可列的(有理數可表示為,n,m均為全體整數)，古有理數點都是離散的點，故函式值為1的點（有理數點）均離散。根據實數的連續性，任意兩個相鄰的有理數間有無窮多個無理數，這些無理數對應的函式值均為0，故在該函式無理數點連續。

（1）當x=0時，f(x)=0，在r上是連續的；

（2）當x不等於0時，

若x為有理數，則f(x)=x，若x是無理數，則f(x)=0，從而由極限定義易得，f(x)在x處無極限，從而不連續。

8樓：弗海

狄利克雷函式處處不連續。

任意兩個實數之間有無窮多的有理數和無理數，所以函式任何一點的左右極限不存在，所以函式處處不連續。