第五題伯努利不等式的一般形式如何證明啊

1樓：匿名使用者

當n=1時，左邊=1+x1，右邊=1+x1，左邊≥右邊成立。

設n=k時左邊≥右邊，即

(1+x1)(1+x2)...(1+xk)≥1+x1+x2+...+xk

兩邊乘以1+xk+1，因xk+1>-1，1+xk+1>0，不等號方向不變，所以

(1+x1)(1+x2)...(1+xk+1)≥(1+x1+x2+...+xk)(1+xk+1)

右邊=(1+x1+x2+...+xk)+xk+1*(1+x1+x2+...+xk)

=(1+x1+x2+...+xk+xk+1)+xk+1*(x1+x2+...+xk)

而x1,x2,...,xk,xk+1均同號，xk+1*(x1+x2+...+xk)≥0

所以右邊≥1+x1+x2+...+xk+xk+1

此即(1+x1)(1+x2)...(1+xk+1)≥1+x1+x2+...+xk+1

由數學歸納法得對任意正整數n，左邊≥右邊成立。等號取得條件是n=1。

2樓：晴天雨絲絲

伯努利不等式證明如下:

如何證明bernoulli不等式

3樓：雪劍

伯努利不等式:(我編過一條百科)

如果用數學歸納法(n是不小於2的整數)

設x＞-1,且x≠0,n是不小於2的整數,則(1+x)^n≥1+nx.

證明:用數學歸納法:

當n=1,上個式子成立,

設對n-1,有:

(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,

則 (1+x)^n

=(1+x)^(n-1)(1+x)

>=[1+(n-1)x](1+x)

=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2

>=1+nx

就是對一切的自然數,當

x>=-1,有

(1+x)^n>=1+nx

但n可以推廣到實數冪形式:

(證明如下)

這道題主要是利用求導判斷單調性.

解答如下:

令函式f(x)=(1+x)^r-(1+rx)

先求導得f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r=r*[(1+x)^(r-1)-1]

討論:(1)當r>1時,(1+x)^(r-1)>1,則f'(x)>0

因此f(x)在r上是單調遞增.

由於x>=-1且x不等於0,而且f(-1)=r-1>0

所以r>1,x>=-1且x不等於0,有f(x)>0

即有(1+x)^r>1+rx成立!!

(2)當r<0時,當-11,則f'(x)<0

因此f(x)在(-1,0)上是單調遞減.

當r<0時,當x>0時,(1+x)^(r-1)<1,則f'(x)>0

因此f(x)在(0,正無窮大)上是單調遞增.

這樣在r<0,x>=-1且x不等於0時,f(x)最小值為f(0)=0

因此在r<0,x>=-1且x不等於0時,f(x)>0,

即(1+x)^r>1+rx成立.

綜上所述:(1+x)^r>1+rx對於所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等於0成立。

4樓：

(1+x)^r>1+rx對於所有的r>1或r<0,x>=-1且x不等於0成立。

證明方法不只一種吧，有用函式單調性的證明：