用數列極限的定義證明 lim n

1樓：墨汁諾

證明過程如下：|an - a| = |n/(n+1) - 1|= |-1/(n+1)|

= 1/(n+1)

< 1/n

∴ 對於任意ε>0，取 n = [1/ε]則當 n > n 時

總有 |n/(n+1) - 1| < 1/n < ε即 lim(n->∞) n/(n+1) = 1含義：因為ε是任意小的正數，所以ε/2 、3ε 、ε2等也都在任意小的正數範圍，因此可用它們的數值近似代替ε。同時，正由於ε是任意小的正數，我們可以限定ε小於一個某一個確定的正數。

n隨ε的變小而變大，因此常把n寫作n(ε)，以強調n對ε的變化而變化的依賴性。但這並不意味著n是由ε唯一確定的：（比如若n>n使|xn-a|<ε成立，那麼顯然n>n+1、n>2n等也使|xn-a|<ε成立）。

重要的是n的存在性，而不在於其值的大小。

2樓：假面

證明過程如下：

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/nε>0，取n>[1/ε]

當n>n

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n<ε所以lim n/(n+1)=1

3樓：匿名使用者

|an - a| = |n/(n+1) - 1|= |-1/(n+1)|

= 1/(n+1)

< 1/n

∴ 對於任意ε>0, 取 n = [1/ε],則當 n > n 時,

總有 |n/(n+1) - 1| < 1/n < ε即 lim(n->∞) n/(n+1) = 1

4樓：

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n任給ε>0,取n>[1/ε],當n>n,有：

|n/(n+1)-1|=1/(n+1)<1/n<ε所以：lim n/(n+1)=1