1樓：
(x,y)≠(0,0)時，f(x,y)=xy^2/(x^2+y^2)，偏導數fx(x,y)=y^2(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2。
f(x,0)≡0，所以fx(0,0)=0。
當(x,y)沿y=kx趨向於(0,0)時，fx(x,y)=y^2(y^2-x^2)/(x^2+y^2)^2趨向於k^2(k^2-1)/(1+k^2)^2。所以(x,y)→(0,0)時，fx(x,y)不趨向於fx(0,0)。
同理可以證明，fy(0,0)=0但(x,y)→(0,0)時，fy(x,y)不趨向於fy(0,0)。
所以，f(x,y)在(0,0)處的偏導數存在但不連續。
2樓：哈哈哈哈
兩個偏導數的存在，你只要根據定義就可以求出來fx(0,0)=fy(0,0)=0
證明不連續，只要取x=ky^2
就可以發現極限值是k/(1+k^2)
故二重極限不存在，從而不連續。
3樓：匿名使用者
（1）偏導數用定義計算
fx(0,0) = lim(x→0) = 0，fy(0,0) = …… = 0；
（2）因沿著曲線 x =y^2 的極限
lim(y→0)f(y^2, y) =lim(y→0)[(y^4)/(y^4+ y^4)] = 1/2，
而沿著曲線 x = 0 的極限
lim(x→0)f(0, y) = … = 0，可知函式f(x, y) 在 (0, 0) 點的極限不存在，當然不連續。
4樓：匿名使用者
這個有點麻煩了，介意加q不。
高等數學下多元函式微分學極限問題
5樓：匿名使用者
這裡是根據二重極限的定義來證明。就是說當點(x,y)落在以(0,0)點附近的一個某個鄰域(小圈圈內)的時候，函式f(x,y)與常數a=0的差的絕對值會無限的接近，那麼就說f(x,y)在(0,0)點的極限為a。定義使設函式在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果對於任意給定的正數a=0，總存在正數ε，使得對於所論鄰域內適合不等式的一切點p(x，y)所對應的函式值都滿足不等式|f(x，y)–0|<ε，那末常數a=0就稱為函式當時的極限。
理解了這定義，題中的解法就明白了。
6樓：饞哭了隔壁小小
極限思想就是，一個東西值一百塊，而我身上只九十九塊錢，我跟老闆說，一塊錢就算了，老闆說，一塊錢，算了算了，九十九你拿走吧。事實證明，九十九塊就等於一百塊。
一道高等數學證明題。我先上圖
7樓：匿名使用者
對於你的第一個疑問，這裡ψ（x）=(e^x)*f(x)中ψ（x）是自定義的輔助函式，其中的f(x)即代指題目中所提到的滿足題目條件的任意函式。因此具有一般性。
對於第二個疑問，因為f（x）有界，又e^x在x趨向於負無窮的時候趨向於0，一個 無窮小 乘以 一個 有界的量 還是無窮小，所以(e^x)*f(x)在x趨向於0的時候趨向於0。
歡迎追問，若略有幫助，請點一下采納，謝謝！
8樓：
不管f(x)多麼千奇百怪，構造一個函式ψ(x)=(e^x)*f(x)都是沒有問題的，兩個函式相乘而已，沒有影響到f(x)的任何取值。再比如構造f(x)/e^x，f(x)/(2+sinx)，f(e^x)等等，有無窮多個呢，只要式子有意義且x的取值任意，都可以。這裡之所以構造e^x*f(x)，還是從已知條件的f(x)+f'(x)而來的，你從解題過程中就可看出來。
如果已知條件換成f(x)-f'(x)，可考慮e^(-x)*f(x)。如果是2f(x)+f'(x)，還可以考慮e^(2x)*f(x)，等等。這都是有技巧可循的，可通過微分方程來確定函式的構造方法。
當x→-∞時，e^x*f(x)是無窮小與有界函式的乘積，極限還是0。
9樓：匿名使用者
本題證明使用了構造新函式的技巧。這裡φ(x)=e^xf(x),只要有一個f(x)就有一個φ(x)對應，當然也就具備你說的「廣泛代表性」。構造這樣的函式是為了證明需要，並考慮到已知條件以及e^x的導數不變性，將一個不確定的函式轉化為我們已知其特點的便於討論的函式。
若用其他函式就無法達到我們的目的。
第二個問題，由無窮小的性質：無窮小乘以有界函式還是無窮小。當x趨於負無窮大時，e^x是無窮小，故它與有界函式f(x)的乘積φ(x)當x趨於負無窮大時也是無窮小，上面φ(-∞)是表示φ(x)當x趨於-∞時的極限。
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