1樓：一丁
該問題對空間向量的基本定理的表述不夠準確，建議修改如下：
已知空間任意一點o和不共線的三點a.b.c，則點p位於平面abc內的充要條件是：存在x.y.z∈r，滿足x+y+z=1 使op=xoa+yob+zoc。
證明：（充分性）
∵x+y+z=1
∴ z=1-x-y
又∵op=xoa+yob+zoc
∴ op =xoa+yob+（1-x-y）ocop=x（oa-oc）+y（ob-oc）+ocop-oc=x（oa-oc）+y（ob-oc）∴ cp=xca+ycb
又由已知條件a、b、c三點不共線可得ca、cb是不共線向量∴ 根據平面向量的基本定理可知，點p位於平面abc內∴ 充分性成立
（必要性）
∵點p位於平面abc內
又由已知條件a、b、c三點不共線可得ca、cb是不共線向量∴ 根據平面向量的基本定理可知，存在實數x，y使得cp=xca+ycb
∴ op-oc=x（oa-oc）+y（ob-oc）op=x（oa-oc）+y（ob-oc）+ocop =xoa+yob+（1-x-y）oc令z=1-x-y
則x+y+z=1 且 op=xoa+yob+zoc即，存在實數x、y、z滿足x+y+z=1，使得op=xoa+yob+zoc
∴ 必要性成立
2樓：啊你他嗎
數學，我覺得發現它的對稱完美性比得到它的證明更重要。
3樓：川湖彥子
x+y+z=1推點p位於平面abc內（必要性）op=xoa+yob+(1-x-y)oc
=xoa-xoc+yob-yoc+oc
=x(oa-oc)+y(ob-oc)+oc=xca+ycb+oc
等價於：op-oc=xca+ycb
所以 cp=xca+ycb
所以得證
點p位於平面abc內推x+y+z=1（充分性）設cp=xca+ycb，則op-oc=xca+ycbop=xca+ycb+oc
所以op=x(oa-oc)+y(ob-oc)+(1-x-y)oc即op=xca+ycb+(1-x-y)oc所以令1-x-y=z 則x+y+z=1
綜上“點p位於平面abc內”的充要條件是“x+y+z=1”得證。
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