1樓：匿名使用者
餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活．
對於任意三角形 三邊為a,b,c 三角為a,b,c 滿足性質
a^2=b^2 c^2-2*b*c*cosa
b^2=a^2 c^2-2*a*c*cosb
c^2=a^2 b^2-2*a*b*cosc
cosc=(a^2 b^2-c^2)/2ab
cosb=(a^2 c^2-b^2)/2ac
cosa=(c^2 b^2-a^2)/2bc
證明：如圖：
∵a=b-c
∴a^2=(b-c)^2 （證明中前面所寫的a,b,c皆為向量，^2為平方）拆開即a^2=b^2 c^2-2bc
再拆開，得a^2=b^2 c^2-2*b*c*cosa
同理可證其他，而下面的cosa=(c^2 b^2-a^2)/2bc就是將cosa移到右邊表示一下。
平面幾何證法：
在任意△abc中
做ad⊥bc.
∠c所對的邊為c，∠b所對的邊為b，∠a所對的邊為a
則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c
根據勾股定理可得：
ac^2=ad^2 dc^2
b^2=(sinb*c)^2 (a-cosb*c)^2
b^2=sin^2b*c^2 a^2 cos^2b*c^2-2ac*cosb
b^2=(sin^2b cos^2b)*c^2-2ac*cosb a^2
b^2=c^2 a^2-2ac*cosb
cosb=(c^2 a^2-b^2)/2ac
從餘弦定理和餘弦函式的性質可以看出,
如果一個三角形兩邊的平方和等於第三
邊的平方,那麼第三邊所對的角一定是直
角,如果小於第三邊的平方,那麼第三邊所
對的角是鈍角,如果大於第三邊,那麼第三邊
所對的角是銳角.即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。
同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。
2樓：匿名使用者
構建三角形三面的向量a,b,c, c=a-b。
所以：c^2=(a+b)^2,
c^2 =a^2+b^2+2a·b
c^2 =a^2+b^2+2a·b·cosθ （這裡的a、b、c是向量a,b,c的模）
用向量的知識證明兩角差的餘弦公式cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
3樓：悟密俞盼
分別設a、b向量與x軸夾角α、β，且它們模長都為1.
則a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)故ab的內積a.b=|a|.|b|cos(α-β)=cos(α-β)其內積又可表示為:
a.b=cosαcosβ+sinαsinβ兩者相等，所以
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
4樓：赧柔潔有女
畫圖。在一個三角形內解決。。。。。是大三角里有小三角。。。然後自己看著辦。。。。就是。。。。用向量加減做~~~~
在大學課本中向量的點積座標公式是用餘弦定理匯出的，但在高中，用向量方法證明餘弦定理，這嚴謹嗎，這不
5樓：電燈劍客
這個還算不上迴圈論證
首先這些結論本身都有不止一種證法，兩本課本也不是同一個人寫的，他們沒有義務知道你用的是什麼教材，以及別的作者寫了些什麼
如果高中課本里向量的內積公式也是由余弦定理推出的，並且這兩個結論都沒有提供過其它證法，那可以認為作者迴圈論證
另外，你在高中學的向量內積和大學裡學的也不見得完全一樣（當然肯定是一回事，但形式可能不同），不同形式之間的等價性其實也是需要證明的，你見到的兩個證明就可以派這個用處
（數學上用a證明b，再用b證明a，這樣做可以說明a和b等價，這和a,b本身如何由其它公理/定理來證明沒有關係，甚至和a,b是否是真命題也沒有關係）
6樓：
餘弦定理用勾股定理證明即可。在向量之前即得證明。
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