1樓：假面
設正態分佈概率密度函式是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]
其實就是均值是u，方差是t^2
於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）
（1）求均值
對（*）式兩邊對u求導：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
約去常數，再兩邊同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆開，再移項：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是 ∫x*f(x)dx=u*1=u
這樣就正好湊出了均值的定義式，證明了均值就是u。
（2）方差
對(*)式兩邊對t求導：∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移項：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是 ∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
2樓：孤獨的爆發
第三行是拆開以後第一項奇0得到的
3樓：聽說你很吊啊
大致過程就這樣，最後一步省略了
4樓：匿名使用者
第三行 σz 倍的 奇函式積分，因為後面是奇函式，概率期望=0，所以沒有了，只剩下一項。
5樓：匿名使用者
將括號，前面部分得到奇函式，積分等於零σ就不見了
正態分佈的數學期望推導過程最後一步 5
6樓：以何憶
我覺得把這個定積分看成標準正態分佈的概率密度就好了。對於概率密度fx有性質：積分正∞到負∞的值為1。所以結果就是u了。
7樓：罪龍
我的理解是：第二行到第三行是這樣的
8樓：什麼都不主動
樓上把他看做正態分佈挺好的，不過正態分佈的密度函式證明也要證明你這個問題，所以嚴格來說沒有解決這個問題。另一個回答是計算var的過程，並不是e。下面貼上我在《概率論基礎教程》一書中找到的證明過程：
9樓：匿名使用者
^f(z) =σz.e^(-z^2/2)
f(-z)= -f(z)
=> ∫(-∞->+∞) σz.e^(-z^2/2) dz =0
[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) e^(-z^2/2) dz =1
=>∫(-∞->+∞) e^(-z^2/2) dz = √(2π)
[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) (σz+μ) e^(-z^2/2) dz
=[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) σz.e^(-z^2/2) dz +[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) μ.e^(-z^2/2) dz
=[1/√(2π) ]∫(-∞->+∞) μ.e^(-z^2/2) dz=μ
推導對數正態分佈數學期望的積分過程
10樓：加百列
設正態分佈概率密度函式是f(x)=[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]，就是均值是u,方差是t^2。
於是：∫e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=(√2π)t.（*）62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333431353964
積分割槽域是從負無窮到正無窮,下面出現的積分也都是這個區域。
（1）求均值
對（*）式兩邊對u求導：
∫{e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*[2(u-x)/2(t^2)]dx=0
約去常數,再兩邊同乘以1/(√2π)t得：
∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]*(u-x)dx=0
把(u-x)拆開,再移項：
∫x*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=u*∫[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx
也就是∫x*f(x)dx=u*1=u
這樣就正好湊出了均值的定義式,證明了均值就是u.
(2)方差
對(*)式兩邊對t求導：
∫[(x-u)^2/t^3]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=√2π
移項：∫[(x-u)^2]*[1/(√2π)t]*e^[-(x-u)^2/2(t^2)]dx=t^2
也就是∫(x-u)^2*f(x)dx=t^2
正好湊出了方差的定義式,從而結論得證。
擴充套件資料：
二重積分的現實(物理)含義：面積 × 物理量 = 二重積分值。
舉例說明：二重積分的現實(物理)含義：
1、二重積分計算平面面積，即：面積 × 1 = 平面面積。
2、二重積分計算立體體積，即：底面積 × 高 = 立體體積。
3、二重積分計算平面薄皮質量，即：面積 × 面密度 = 平面薄皮質量。
二重積分的定義式：
其中***與yyy叫做積分變數，f(x,y)f(x,y)f(x,y)叫做被積函式，dσd\sigmadσ叫做面積元素，ddd叫做積分割槽域。
11樓：匿名使用者
沒有太簡單的方法了
兩次換元法，可以化成概率積分的形式
這個積分的結果可以直接用
所以，也不算太麻煩
過程如下：
12樓：量綱學
利用矩母函式避免複雜積分
請問概率論中正態分佈的數學期望如何求出？其中有一步不太懂。。。希望大神指點
13樓：沉沒遊輪
標準正態分佈期望不是0嘛→_→
首先被積函式是個奇函式，積分割槽間又是對稱的，所以應該是0而不是其他的
正態分佈的數學期望
14樓：匿名使用者
^^e(x^來4)
=∫x^4*1/√(2π)e^（
自-x^2/2）dx 積分割槽間bai（-∞，du+∞）zhi
=2∫x^4*1/√(2π)e^（-x^2/2）dx 積分割槽間（0，+∞）
分步積分。dao
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）+2/√(2π)∫3x^2*e^（-x^2/2）dx
=-2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
+2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx
積分割槽間（0，+∞）
1/√(2π)∫e^（-x^2/2）dx=1/2
2/√(2π)∫3*e^（-x^2/2）dx=3*2*1/2=3
而2x^3*1/√(2π)e^（-x^2/2）-2/√(2π)3x*e^（-x^2/2）
=2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）
利用羅必塔法則，
lim2x^3/√(2π)e^（x^2/2）-6x/√(2π)*e^（x^2/2）=0
所以e(x^4)=3
15樓：蛋庚飯飯
不知道哇！不蠻足線性！
直覺告訴我是0
16樓：匿名使用者
當n是奇數時，ex^n=0;
當n是偶數時，ex^n=&^n(n-1)!!
[&是標準差，（n-1)!!=(n-1)*(n-3)*(n-5)*……*3*1]
正態分佈數學期望 10
17樓：匿名使用者
原函式不是初等函式，不能直接積分，可作變數代換t=(√2)y，再利用下圖的結論寫出答案。
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