1樓：匿名使用者
就像物理題的整體法一樣，對整體進行的操作，不能隨隨便便用到整體裡的個體上去，除非能把那個體單提出來作分析，同時不影響整體。
等價無窮小的本質，是原式整個一起，乘上了一個值等於1的極限，例如：
lim(a/(acde+fg))
=lim(a/(acde+fg)) * 1
=lim(a/(acde+fg)) * lim（b/a）
=lim(b/(acde+fg))
這個只看頭尾，就是lim(a/(acde+fg))=lim(b/(acde+fg))，是把分子上的等價無窮小a和b相互替換了
然而分母上的，就不能換，因為他沒有露在最外層，就不能直接進行極限乘除，就沒法消掉變成b
但是，假如你能確定這個極限當每部分單獨拿出來時，都依然存在，（有的不存在，例如lim(x/(x+1)），x→∞，把分子分母單拿出來都不存在極限）那麼就有：
lim(a/(acde+fg))
=lim(a)/lim(acde+fg)
=lim(a)/[lim(acde)+lim(fg)]
這時lim(acde)就是能單獨存在的極限了，而a露在最外層，能直接乘除，是以就能做所謂的等價無窮小替換=lim(bcde)
而再反過來給他們都裝回去，那就有了：
lim(a/(acde+fg))
=lim(a)/lim(acde+fg)
=lim(a)/[lim(acde)+lim(fg)]
lim(a)=lim(b)，lim(acde)=lim(bcde)
=lim(b)/[lim(bcde)+lim(fg)]
=lim(b)/lim(bcde+fg)
=lim(b/(bcde+fg))
這樣才能把分母上的，包在加法中間的a給換成b
2樓：和與忍
首先，在得出第一個等號的右端後是不能立即做無窮小代換的，因為這時ln(1-2x)只是分子的一項（分子或分母有多項時，一般不能只對其中部分項進行無窮小代換！只有對分子或分母裡的乘積因子做無窮小代換才是安全的）。
其實，此題一直都不能利用無窮小代換式ln(1-2x)∽-2x，因為沒有出現ln(1-2x)是分子或分母的情況，也沒有出現它是分子或分母的乘積因子的情況。
其次，到倒數第二行後，已經可以使用洛必達法則了。使用後分子的導數是2-2/(1-2x)＝-4x/(1-2x)，分母的導數是2x，二者相除整理後得-2/ (1-2x)，極限是-2.
3樓：匿名使用者
因為還不夠小, 分母比它還要小一個量級. 所以還需要再向後一項即等價於-2x-0.5(-2x)^2
4樓：匿名使用者
x-->0時ln(1-2x)/(-2x)-->[-2/(1-2x)]/(-2)-->1,
所以ln(1-2x)等價於-2x.對。
例2.6題解法為什麼不能用等價無窮小替換ln(1+x)~x這個公式呢？
5樓：匿名使用者
因為：lim(x->0) ln(1+x)/x=1故：ln(1+x)~x
由於x^3/e^x^2->0
ln(1+x^3/e^x^2)~x^3/e^x^2故可用：x^3/e^x^2替換ln(1+x^3/e^x^2)
高數問題等價無窮小的替換條件是什麼 為什麼sinx可以等價於x而不是2x 10
6樓：匿名使用者
要無窮小且等價才能在乘除運算中替換。
limsinx/x = 1， sinx 是無窮小專，屬且與 x 是等價無窮小，故可代換。
limsinx/(2x) = 1/2 ， sinx 是無窮小，但與 2x 不是等價無窮小，故不可代換。
7樓：巴山蜀水
∵baix∈r時，sinx=∑[(-1)^n](x^(2n+1)/[(2n+1)!]=x-x³/6+…du+[(-1)^n](x^(2n+1)/[(2n+1)!]+…，
∴x→0時，zhisinx=x+o(x)、sinx=x-x³/6+o(x³)n=…。故dao，sinx~
內x或者sinx~x-x³/6，……。
當是「sin(ax)」時，有sinax~ax或者sinax~ax-(ax)³/6，……。
【另容外，亦可用「等價無窮小」的定義來理解】供參考。
8樓：醜佛脫獄
畫一個單位圓，根據面積可以推出來
高等數學 等價無窮小替換問題
9樓：安克魯
1、「等價無窮小
的替換一般發生在計算兩個無窮小的比值的極限（或者說是兩個無窮小極限值之比）時」。
[評析] 完全正確！
2、「等價無窮小在是乘除時可以替換，加減時不可替換」。
[評析] 不完全對！
如果只是無窮小之間的加加減減時，結果一定還是無窮小，完全可以替代。
如果加減時，還涉及到其他運算，則不能一概而論。
只要是等價無窮小，都可以替換。
3、「在計算等價無窮小之比的極限時，理論上要替換，是要替換掉分子上的無窮小（整個式子），或者分母上的無窮小（整個式子），這時其實是將整個分子或分母當作一個無窮小」。
[評析]：完全正確！
4、「而如果分子或分母上的無窮小不是由一個因式（如單單一個sin x,或tan x）構成的，而是由多個因式通過相乘除或相加減構成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那麼可以找一個與ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等價無窮小量來替換他。
因為ln（1+x）*x 這個無窮小是由兩個因式 想乘而成的，所以替換掉其中一個ln（1+x）為 x，之後形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等價無窮小，所以可以替換。而ln（1+x）+ x ，因為其是由兩個因式相加而形成的無窮小量，所以如果替換掉ln（1+x）為x，而形成的2x不是ln（1+x）+ x的等價無窮小，所以也就不能替換」。
[評析]：樓主被網上誤導了！
x 與 ln(1+x） 是同價無窮小
x^2 與 x*ln(1+x) 仍然是同價無窮小 。
2x 與〔x + ln(1+x)〕也是同價無窮小。
樓主後面受網上誤導不淺。趕緊糾正。
10樓：電燈劍客
這個問題很多人都搞不明白，很多自認為明白的人也不負責任地說一句「乘除可以，加減不行」，包括不少高校教師。其實這種**是不對的！關鍵是要知道其中的道理，而不是記住結論。
1.做乘除法的時候一定可以替換，這個大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那麼lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中兩項的極限是1，所以就順利替換掉了。
2.加減法的時候也可以替換！但是注意保留餘項。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，這個是很多人說不能替換的原因，但是如果你這樣看：
f(x)～u(x)等價於f(x)=u(x)+o(f(x))，那麼f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意這裡是等號，所以一定是成立的！
問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量，此時餘項o(f(x))成為主導，所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時，o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替換的，因為
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x，那麼
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此時發生了相消，餘項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的！只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。
碰到這種情況也不是說就不能替換，如果你換一個高階近似：
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那麼ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意義的結果，此時餘項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。
從上面的例子就可以看出來，餘項很重要，不能直接扔掉，因為餘項當中包含了一定的資訊。而且只要保留餘項，那麼所做的就是恆等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似，這種方法永遠是可行的，即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶餘項的taylor公式之後對這一點就會有更好的認識。
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夜色 擾人眠 你說的應該是x 0的情況吧。因為x 2sin1 x的極限是0，所以可以替換。同理，xsinx的極限也是0，故根號 1 xsinx 1等價於 1 2 xsinx.注意去看看那幾個重要的等價。 小尛 加減法不能替換的 因為sinx x o x 3 如果分母是o x 3 階的那麼這個三階以上...