三角函式的輔助角公式的運用

時間 2021-08-30 11:16:29

1樓:

三角函式輔助角公式推導:

asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]

令a/√(a²+b²)=cosφ,b/√(a²+b²)=sinφ

asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)

其中,tanφ=sinφ/cosφ=b/a,φ的終邊所在象限與點(a,b)所在象限相同.

簡單例題:

(1)化簡5sina-12cosa

5sina-12cosa

=13(5/13sina-12/13cosa)

=13(cosbsina-sinbcosa)

=13sin(a-b)

其中,cosb=5/13,sinb=12/13

(2)π/6<=a<=π/4 ,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值

令f(a)

=sin²a+2sinacosa+3cos²a

=1+sin2a+2cos²a

1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)

=2+(sin2a+cos2a)

=2+根號2sin(2a+π/4)(輔助角公式)

因為7π/12<=2a+π/4<=3π/4

所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根號2)sin(3π/4)=3

2樓:匿名使用者

對於acosx+bsinx型函式,我們可以如此變形acosx+bsinx=sqrt(a^2+b^2)(acosx/sqrt(a^2+b^2)+bsinx/sqrt(a^2+b^2)),令點(b,a)為某一角φ終邊上的點,則sinφ=a/sqrt(a^2+b^2),cosφ=b/sqrt(a^2+b^2)

∴acosx+bsinx=sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))

這就是輔助角公式.

設要證明的公式為asina+bcosa=√(a^2+b^2)sin(a+m) (tanm=b/a)

以下是證明過程:

設asina+bcosa=xsin(a+m)

∴asina+bcosa=x((a/x)sina+(b/x)cosa)

由題,(a/x)^2+(b/x)^2=1,sinm=a/x,cosm=b/x

∴x=√(a^2+b^2)

∴asina+bcosa=√(a^2+b^2)sin(a+m) ,tanm=sinm/cosm=b/a

3樓:

1.三角函式恆等變形的基本策略。

(1)常值代換:特別是用“1”的代換,如1=cos2θ+sin2θ=tanx•cotx=tan45°等。

(2)項的分拆與角的配湊。如分拆項:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配湊角:α=(α+β)-β,β= - 等。

(3)降次與升次。(4)化弦(切)法。

(4)引入輔助角。asinθ+bcosθ= sin(θ+ ),這裡輔助角 所在象限由a、b的符號確定, 角的值由tan = 確定。

4樓:南戎

輔助角公式就是為了把sin

cos2種函式顯示的函式

化成單個cos

或sin函式表示的函式

方便求週期等等...

.asinα+bcosα

=√a^2+b^2﹙a/√a^2+b^2·sinα+b/a/√a^2+b^2·cosα﹚

=√a^2+b^2sin﹙α+φ﹚,

tanφ=b/a

5樓:委縈掌嘉禎

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6樓:林海濱

三角函式的輔助角公式,沒聽過

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