1樓：匿名使用者
[-a,a] ∫ (x²-x)√(a²-x²) dx
=[-a,a] ∫ x²√(a²-x²) dx - [-a,a] ∫ x√(a²-x²) dx （後半部分是奇函式，在對稱區間的定積分為零）
=[0,a] 2 ∫ x²√(a²-x²) dx
=[0,a] 2 ∫ (a²-a²+x²)√(a²-x²) dx
=[0,a] 2 ∫ a²√(a²-x²) - (a²-x²)^(3/2) dx
= a²x√(a²-x²)+ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] - ¼ x(5a²-2x²)√(a²-x²) - ¾ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]
=¼ (2x²-a²)x√(a²-x²)+¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)] | [0,a]
=(x→a)lim¼ a^4 arctan[x/√(a²-x²)]
=(u→π/2)lim¼ u a^4 （令 x=asinu，則arctan[x/√(a²-x²)]=u）
=(πa^4)/8
2樓：匿名使用者
∫(-a→a) (x^2-x)√(a^2-x^2) dx= ∫(-a→a) x^2√(a^2-x^2) dx - ∫(-a→a) x√(a^2-x^2) dx
= 2∫(0→a) x^2√(a^2-x^2) dx - 0x=a*siny,dx=a*cosydy
= 2∫(0→π/2) a^2sin^2y*a^2cos^2y dy= 2a^4∫(0→π/2) 1/4*(sin2y)^2 dy= (a^4/2)∫(0→π/2) (1-cos4y) dy= (a^4/2)(y-1/4*sin4y)= (a^4/2)(π/2-0)
= a^4π/4
求1/根號下a^2-x^2 dx a>0的不定積分
3樓：我是一個麻瓜啊
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=arcsin(x/a)+c。c為積分常數。
分析過程如下：
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx
=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c
擴充套件資料：求不定積分的方法：
第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f（x）的函式，再把f（x）看為一個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）。
分部積分，就那固定的幾種型別，無非就是三角函式乘上x，或者指數函式、對數函式乘上一個x這類的，記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f『（x）dx=df（x）變形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx這樣的公式，當然x可以換成其他g（x）。
常用積分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
4樓：匿名使用者
∫1/√(a^2-x^2)dx (a>0)=∫1/dx
=∫1/√[1-(x/a)^2]d(x/a)=arcsin(x/a)+c
注：^2——表示平方。
5樓：匿名使用者
x = asinθ、dx = acosθ dθ
∫[0→a] dx/[x + √(a² - x²)]
= ∫[0→π/2] acosθ/[asinθ + acosθ] dθ
= (1/2)∫[0→π/2] 2cosθ/[sinθ + cosθ] dθ
= (1/2)∫[0→π/2] [(sinθ + cosθ) - (sinθ - cosθ)]/(sinθ + cosθ) dθ
= (1/2)∫[0→π/2] dθ - (1/2)∫[0→π/2] d(- cosθ - sinθ)/(sinθ + cosθ)
= θ/2 |[0→π/2] + (1/2)∫ d(sinθ + cosθ)/(sinθ + cosθ)
= π/4 + (1/2)ln[sinθ + cosθ] |[0→π/2]
= π/4 + (1/2)
= π/4
6樓：夏小紙追
^繞x軸：
體積為y=2-x^2繞x旋轉的體積減去y=x^2繞x軸旋轉轉的體積v=2[∫pi*(2-x^2)^2dx-∫pi*(x^2)^2dx] 積分下限為0，上限為1，積分割槽間對稱，所以用2倍0,1區間上的
=pi*8/3
繞y軸：
2條曲線的交點為（-1,1），（1,1）
v=∫pi*ydy+∫pi*(y-2)dy第一個積分上下限為0,1，第二個積分上下限為1,2=pi
7樓：匿名使用者
這不是書上公式有的嗎？
=arcsin(x/a)+c
求定積分（0，a）x^2根號（a^2-x^2）(a＞0)，要步驟謝謝
8樓：匡匡
對y=根號下a^2-x^2求導，兩邊平方，整理得x^2+y^2=a^2,又因為a＞0，從0到a積分，就是求以（0,0）為圓心，半徑為a的上半圓的面積，就是二分之一×πa^2
求不定積分∫x^2/根號下(x^2+a^2) dx (a>0) 10
9樓：匿名使用者
^^^∫x^2/√(a^2+x^2)dx
=∫(x^2+a^2-a^2)/√(a^2+x^2)dx
=∫√(x^2+a^2)dx-a^2∫dx/√(a^2+x^2)
=x√(x^2+a^2)- ∫x√d(x^2+a^2)dx-a^2arsh(x/a)
= x√(x^2+a^2)- ∫x^2dx/√(x^2+a^2)-a^2(ln(x/a+√(1+(x/a)^2)),
2∫x^2dx/√(x^2+a^2)= x√(x^2+a^2)-a^2,
∴∫x^2dx/√(a^2+x^2)= x√(a^2+x^2)/2-a^2ln[x+√(a^2+x^2)]/2+c
這裡用到分部積分和反雙曲正弦函式arshx。
10樓：匿名使用者
^^∫[x^2/√(x^2+a^2)]dx
=∫dx
=a∫d(x/a)
=(1/2)a(x/a)^2-a*arctan(x/a)+c=[1/(2a)]x^2-a*arctan(x/a)+c
11樓：匿名使用者
作代換x=sht,或者x=tant，然後就會化的很簡單（注意前一種方法中(sht)^2可以化成(ch2t-1)/2)
∫［a，0］x^2·根號(a^2-x^2)dx求定積分 10
12樓：匿名使用者
(0,a) ∫x²√(a²-x²) dx
原式=(0,a)∫(ax²√[1-(x/a)²]dx
令x/a=sint,則dx=acostdt,x=0時,t=0；x=a時,t=π
版/2.
故原式=(0,π/2)a⁴∫sin²tcos²tdt=(0,π/2)(a⁴/4)∫sin²(2t)dt=(0,π/2)(a⁴/8)∫sin²(2t)d(2t)
=(0,π/2)(a⁴/16)∫[(1-cos4t)/2]d(4t)=(0,π/2)(a⁴/32)∫[(1-cos4t)d(4t)
=[(a⁴/32)(4t-sin4t)](0,π/2)=(a⁴/32)×(2π)=πa⁴/16
常用積分公式：權
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
13樓：愛娜娜的小雪梨
令x=√
2sina則dx=√2cosada√(2-x²)=cosax=0,a=0x=√2,a=π
版/2所以原式=∫權(0-π/2）2sin²a*cosa*√2cosada=∫(0-π/2）2√2sin²acos²ada=√2/2*∫(0-π/2）sin²2ada=√2/4*∫(0-π/2）(1-cos2a)/2d2a=√2/4(2a-sin2a)/2(0-π/2）=√2/4*(π-0)=π√2/4
14樓：茹翊神諭者
詳情如圖所示
有任何疑惑，歡迎追問
求x^2*(根號下a^2-x^2)dx的定積分 上限a,下限0 (a>0) 答案為 十六分之a的四次派，求過程。謝謝。
15樓：匿名使用者
x = asinz，dx = acosz dz∫(0→a) x²√[a² - x²] dx= ∫(0→π/2) [a²sin²z][acosz][acosz] dz
= a⁴∫(0→π/2) sin²zcos²z dz= a⁴∫(0→π/2) [(1/2)sin2z]² dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) sin²2z dz= [a⁴/4]∫(0→π/2) [(1 - cos4z)/2] dz
= [a⁴/8][z - (1/4)sin4z] |(0→π/2)= [a⁴/8][π/2 - (1/4)(0)]= a⁴π/16
求定積分（上2下1）根號下（x 2 1）
解 設x sect,則cost 1 x,dx sect tantdt,且當x 1時，t 0.當x 2時，t 3 原式 0，3 tant sect sect tantdt 0，3 tan tdt 0，3 sec t 1 dt 0，3 sec tdt 0，3 dt 0，3 d tant 0，3 dt t...
求x 2根號下（1 x 2）的積分
你愛我媽呀 求解過程為 令x sinz，則dx coszdz，cosz 1 x x 1 x dx sin z cosz 1 sin z dz sin z cosz coszdz sin zdz 1 2 1 cos2z dz 1 2 z 1 2 sin2z c 1 2 z 1 2 sinz cosz ...
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荸羶 答案如下 x x 2 dx,令u x 2,du dx。u 2 u du。u 3 2 du 2 u du。2 5 u 5 2 2 2 3 u 3 2 c。2 15 3x 4 x 2 3 2 c。在微積分中，一個函式f 的不定積分，或原函式，或反導數，是一個導數等於f 的函式 f 即f f。不定積...