1樓：
其實從泰勒定理的廣泛目的就可以理解，為了用一個簡單的多項式函式pn（x)來表示一個複雜函式f(x)，就必然要求餘項r滿足上式。
如果要證明，其實是先設rn(x)=f(x)-p(x)的，詳細如下：
若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為一個關於（x-x.)多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.
)+f''(x.)/2!•(x-x.
)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.
)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.
)^n+rn
其中rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),這裡ξ在x和x.之間，該餘項稱為拉格朗日型的餘項。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n階導數，不是f(n)與x.的相乘。）
證明：我們知道f(x)=f(x.)+f'(x.
)(x-x.)+α（根據拉格朗日中值定理匯出的有限增量定理有limδx→0 f(x.+δx)-f(x.
)=f'(x.)δx），其中誤差α是在limδx→0 即limx→x.的前提下才趨向於0，所以在近似計算中往往不夠精確；於是我們需要一個能夠足夠精確的且能估計出誤差的多項式：
p(x)=a0+a1(x-x.)+a2(x-x.)^2+……+an(x-x.)^n
來近似地表示函式f(x)且要寫出其誤差f(x)-p(x)的具體表示式。設函式p(x)滿足p(x.)=f(x.
),p'(x.)=f'(x.),p''(x.
)=f''(x.),……,p(n)(x.)=f(n)(x.
),於是可以依次求出a0、a1、a2、……、an。顯然，p(x.)=a0,所以a0=f(x.
)；p'(x.)=a1,a1=f'(x.)；p''(x.
)=2!a2,a2=f''(x.)/2!
……p(n)(x.)=n!an,an=f(n)(x.
)/n!。至此，多項的各項係數都已求出，得：p(x)=f(x.
)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.
)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.
)/n!•(x-x.)^n.
接下來就要求誤差的具體表示式了。設rn(x)=f(x)-p(x),於是有rn(x.)=f(x.
)-p(x.)=0。所以可以得出rn(x.
)=rn'(x.)=rn''(x.)=……=rn(n)(x.
)=0。根據柯西中值定理可得rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(x)-rn(x.
)/(x-x.)^(n+1)-0=rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：
(x.-x.)^(n+1)=0),這裡ξ1在x和x.
之間；繼續使用柯西中值定理得rn'(ξ1)-rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.
)^(n-1)這裡ξ2在ξ1與x.之間；連續使用n+1次後得出rn(x)/(x-x.)^(n+1)=rn(n+1)(ξ)/(n+1)!
，這裡ξ在x.和x之間。但rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-p(n+1)(x),由於p(n)(x)=n!
an,n!an是一個常數，故p(n+1)(x)=0，於是得rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。綜上可得，餘項rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!
•(x-x.)^(n+1)。一般來說函式時都是為了計算的需要，故x往往要取一個定值，此時也可把rn(x)寫為rn。
麥克勞林式：若函式f(x)在開區間（a，b）有直到n+1階的導數，則當函式在此區間內時，可以為一個關於x多項式和一個餘項的和：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!•x^n+rn
其中rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!•x^(n+1),這裡0<θ<1。
證明：如果我們要用一個多項式p(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n來近似表示函式f(x)且要獲得其誤差的具體表示式，就可以把泰勒公式改寫為比較簡單的形式即當x.=0時的特殊形式：
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!•x^2,+f'''(0)/3!•x^3+……+f(n)(0)/n!
•x^n+f(n+1)(ξ)/(n+1)!•x^(n+1)
由於ξ在0到x之間，故可寫作θx，0<θ<1。
2樓：匿名使用者
雖然看到你們這個問答是在好久，但是現在還是再來說下，我也是才弄懂的，lz其實和我一樣，書的開始第一句話弄錯了，他說的意思不是通過rn(x)的式子來證明rn(x)=f(x)-pn(x)，但是實際上來講他是用rn(x)=f(x)-pn(x)，用rn(x)/(x-x0)^(n+1)來最後求出rn(x)的式子。
我也是才弄明白，希望對你有幫助。
關於高數書上泰勒中值定理的證明過程。
3樓：莫
你把x0帶入到f（x）那個函式中去，就等於f（x0）＝f（x0）+rn（x0）再把f（x）函式求導，再把x0帶進去就發現了
求羅爾定理，柯西中值定理的證明，要證明謝謝
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