1樓：百度文庫精選
內容來自使用者:天道酬勤能補拙
高考數學優質專題（附經典解析）
利用導數證明不等式
基本方法：
解決這類問題關鍵是構造一個新的函式，再研究新函式在所考慮區間上的單調性和極值、最值；注意：構造新函式不同，確定符號難易程度可能不同，所以構造新函式時可對原不等式作適當的變形再進行構造.
先構造在賦值，證明和式或積式成立.
一、典型例題
1.已知函式，證明：.
2.已知函式.
（1）若，求a的值；
（2）設m為整數，且對於任意正整數n，，求m的最小值.
二、課堂練習
1.已知，當時，求證：.
2.已知函式，.
（1）若對恆成立，求的取值範圍；
（2）證明：不等式對於正整數恆成立（其中為自然對數的底數）.
三、課後作業
1.已知函式，當時，證明：.
2.已知，證明：.
3.已知函式（其中，）.
（1）當時，求函式在點處的切線方程；
（2）求證：對於任意大於的正整數，都有.
2樓：
詳細答案請看**，剛才不心弄錯了個標點符號，現在改回來了，希望你學習愉快！
3樓：栩箭
設在2n維座標系上, 有
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
為了使用拉格朗日乘數法, 構造f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ...
* xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn + λ(a1 + a2 +...+ an - 1 )
記f'x為f對x的偏導, 則有
f'x1 = a1 * x1^(a1-1) * x2^a2 * ... * xn^an - a1
f'x2 = a2 * x1^a1 * x2^(a2-1) * ... * xn^an - a2..
.f'xn = an * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^(an-1) - an
f'a1 = ln(x1) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x1 + λ
f'a2 = ln(x2) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - x2 + λ..
.f'an = ln(xn) * x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - xn + λ
f'λ = a1 + a2 +...+ an - 1
令上面的偏導都等於0, 解得駐點滿足x1 = x2 = ... = xn, 此時f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = 0
考慮所有邊界, 即xi = 0 或 ai = 0(i=1,2,...,n)
對於邊界xi=0(i=1,2,...,n)
f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an) = x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn
= 0 - a1n1 - ... anxn < 0
對於邊界ai = 0(i=1,2,...,n),結果等價於原題x,a底數最大為(n-1)時的情況, 而當n = 2時,對於任意一個ai(i=1,2), x1^a1 + x2^a2 <= a1*x1 + a2*x2成立, 故而f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...
,an) <= 0
綜上, f(x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an)有最大值0, 則
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an - a1x1 - a2x2 - ... - anxn <= 0
x1^a1 * x2^a2 * ... * xn^an <= a1x1 + a2x2 + ... + anxn
4樓：
首先對2l,3l的表示敬意
2l用詹森不等式,知道這不等式的話這題就變得和小學的一樣了3l用拉格朗日乘數法,只能說"我去,太有霸氣了"
lz,昨天給你做了第一題,其實就離這第二題只有半步之遙了我沒有細想,抱歉抱歉...今天一早就有靈感了
5樓：匿名使用者
...什麼東西 看都沒看清楚。
高數導數的定義證明不等式
6樓：獨吟獨賞獨步
不是的。只求到一階導並不能說明一階導大於零，必須要證明一階導數單調遞迴增（或遞減），同時結合答某一點的一階導，才能說明在一個區間內導數大於零。
不知道這麼說你能不能理解，就是已知一點值+單調性，則可證範圍，缺少一個條件是不完整的。
7樓：山野田歩美
2/πx＜sinx＜x
因為x>0, 兩邊同除x， 就是2/π＜sinx/x＜1令g(x)=sinx/x
求導，再求其在0到π之間的極值就行啦
8樓：雷帝鄉鄉
這裡你直接是看不出來的
9樓：匿名使用者
f'是正數-正數，雖然很容易看出來x>1時，e^(x-1)-x>0，但還是要證明一下的。。。
一道高數題：證明不等式x-x^2/2
10樓：範曉琳加油
令f(x)=x-(x*x)/2-ln(1+x),則f'(x)=1-x-1/(1+x)=-(x*x)/(1+x)<0,所以
復f(x)單調製遞減,又f(0)=0,所以x-(x*x)/2式也同樣的證法.打不開了,沒寫.
11樓：匿名使用者
先證du明前半部分，設函式f(x)=x-x²/2-ln(1+x),顯然f(0)=0,f(x)'=1-x-1/(1+x),當x>0時，zhif(x)'<0，
所以當x>0時，f(x)<0.
後半部dao分也一樣，後半部分相當於證明：2(1+x)ln(1+x)回g(x)=2(1+x)ln(1+x)-x²-2x
g(0)=0,g(x)'=2[ln(1+x)-x],只需證明當x>0時g(x)'<0,不過這時還看不出來，而g(0)'=0,再求一次導數得：g(x)"/2=1/(1+x)-x，顯然當答x>0時，g(x)"<0，從而得證。
高數中值定理證明題？
12樓：匿名使用者
一、數列極限的證明
數列極限的證明是數
一、二的重點，特別是數二最近幾年回考的非常頻繁，已經考過答好幾次大的證明題，一般大題中涉及到數列極限的證明，用到的方法是單調有界準則。
二、微分中值定理的相關證明
微分中值定理的證明題歷來是考研的重難點，其考試特點是綜合性強，涉及到知識面廣，涉及到中值的等式主要是三類定理：
1.零點定理和介質定理;
2.微分中值定理;
包括羅爾定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用來處理高階導數的相關問題，考查頻率底，所以以前兩個定理為主。
3.微分中值定理
積分中值定理的作用是為了去掉積分符號。
在考查的時候，一般會把三類定理兩兩結合起來進行考查，所以要總結到現在為止，所考查的題型。
三、方程根的問題
包括方程根唯一和方程根的個數的討論。
四、不等式的證明
五、定積分等式和不等式的證明
主要涉及的方法有微分學的方法：常數變異法;積分學的方法：換元法和分佈積分法。
六、積分與路徑無關的五個等價條件
關於高數的導數問題，高等數學中的導數問題？
可以看成是一個複合函式求導，令u 2x，對sinu求導得u cosu，然後把u換成2x，所以u sinu 2sin2x，這是最簡單的複合函式求導，一定要掌握的，注意要求內導，此題的內導就是u 實時交通事故 其實就是一個複合函式，如果熟練可以省略換元的步驟，一步到位。 一路歡歡笑 這是複合函式的求導，...
高數極限證明，利用高數極限定義證明一般過程，求詳解，急求，謝謝！
破道之九十黑棺 以數列極限為例 所謂極限就是一種趨勢 一直靠近某個確定的數 無窮大例外 但是卻達不到這個數的這種趨勢 對於證明 基本的想法是 你隨意取一個正數 這個數在這次證明中是固定的常數 不變的 對於所求極限的式子與其極限 暫稱 之間的距離是小於這個常數的 也就是那個不等式 取得這個正常數一般用...
導數不存在與駐點的區別，高數 極值點 導數不存在點 駐點 關係
一個函式在其定義域內，其導數為0的點稱為函式的駐點，駐點可以劃分函式的單調區間。拐點則是函式二階導數為零，且三階導不為零的點，當一階導數曲線通過該點時，符號發生改變，即該函式的凹凸性可能改變 它們的區別是 在駐點處的單調性可能改變，而在拐點處則是凹凸性可能改變。拐點 二階導數為零，且三階導不為零 駐...