1樓：輕靈觸動
群：在數學中，群表示一個擁有滿足封閉性、結合律、有單位元、有逆元的二元運算的代數結構，包括阿貝爾群、同態和共軛類。
環(ring)：是一類包含兩種運算(加法和乘法)的代數系統，是現代代數學十分重要的一類研究物件。其發展可追溯到19世紀關於實數域的擴張及其分類的研究。
域：定義域，值域，數學名詞，函式經典定義中，因變數改變而改變的取值範圍叫做這個函式的值域，在函式現代定義中是指定義域中所有元素在某個對應法則下對應的所有的象所組成的集合。
集合：簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究物件。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是“確定的一堆東西”，集合裡的“東西”則稱為元素。
現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。
範圍：群、環、域都是滿足一定條件的集合，可大可小，可可數 也可 不可數，一個元素可以是群『0』，三個也可以『0，1，-1』，可數的：以整數為係數的多項式（可以驗證也是環），當然r也是；環不過是在群的基礎上加上了交換律和另外一種運算，域的條件更強（除0元可逆），常見的一般是數域，也就是：
整數，有理數，實數，複數。
群，環，域都是集合，在這個集合上定義有特定元素和一些運算，這些運算具有一些性質。群上定義一個運算，滿足結合律，有單位元（元素和單位元進行運算不變），每個元素有逆元（元素和逆元運算得單位元） 例整數集，加法及結合律，單位元0,逆元是相反數， 正數集，乘法及結合律，單位元1，逆元是倒數 環是一種群，定義的群運算（記為＋）還要滿足交換律。
另外環上還有一個運算（記為×），滿足結合律，同時有分配律a(b+c)＝ab+ac，（a+b)c=ac+bc，由於×不一定有交換律，所以分開寫。 例整數集上加法和乘法。 域是一種環，上面的×要滿足交換律，除了有＋的單位元還要有×的單位元（二者不等），除了＋的單位元外其他元素都有×的逆元。
例整數集上加法和乘法，單位元0,1。
群、環、域代數結構：
群、環、域、向量空間、有序集等等，用集合與關係的語言給出來的統一的形式。首先，由於數學物件的多樣性，有不同的型別的集。
如群表示的集為g×g.實際上，群涉及的是二元運算；而向量空間表示的集為f×f→f，f×v→v，v×v→v，向量空間涉及域f中的運算，域f中的元對v中元的運算，v中元的運算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法運算；向量空間的“合成”有f中的元對v中元的作用乘法，v中元的加法運算)，並且，要求“合成”適合給定的公理體系，得到的就是一個數學結構。
事實上，代數結構中，所有概念均可用集合及關係來定義，即用集合及關係的語言來表述。
做為基本概念，若僅僅著眼於“合成”(即“運算”)，則這種數學結構稱為代數結構，或代數系(統).換言之，代數結構(代數系)就是帶有若干合成(運算)的集合。
2樓：虞伯
這是抽象代數的內容:
集合是基本概念,相當於一類/一堆/全體/...你該理解，不說了。
群是特殊的集，在它上面可以定義一種運算（通常叫做“乘法”，但跟數的乘法無必然聯絡），要封閉/可結合/有單位元（類似乘1/加0）/有逆元（類似乘倒數/加相反數）...
例如，正有理數是乘法群，非零有理數也是乘法群，整數集在加法下成群。
注意，群不要求交換律，如果滿足交換律，叫阿貝爾群（或加法群）。
環和域的要求就更高了，不必給你講抽象的，只在數的範圍內討論：
在加/減/乘下封閉的數集是數環，如果數環在除法下也封閉，就叫數域。
某數的倍數全體（包括負的）成一數環，有理數集是最小的數域，實數集/複數集也是數域。
更深的內容參見大學課本，抽象代數/近世代數之類......
3樓：醉了哦
這是離散數學的內容，沒必要了解。
離散數學代數系統中 群是不是包含一個二元運算 而環和域是包含兩個二元運算的
4樓：匿名使用者
.如果有又單位元f，那麼e=e*f=f=e*f=e.顯然恆等函式f(x)=x是單位
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