1樓：
假設：1+2+3+···+2n=n(2n+1）n=1時，1+2=2+1明顯相等
n=k+1時，
1+2+3+……+2k+（2k+1）+（2k+2）=（k+1）（2k+3）
1+2+3+···+2k=k(2k+1）
4k+3=4k+3
此時也成立
由數學歸納法可得：假設成立
2樓：匿名使用者
因為左邊2n並不是前面各項的通項公式，根據前幾項的規律可知該數列為等差數列，用數學歸納法證明如下：
(1)當n=1時，1+2*1=1*（2*1+1）=3 等式成立；
（2)假設當n=k時，1+2+3+...+（2k-1）+2k=k*(2k+1)成立
(k 為正整數）；
（3)當n=k+1時，左邊=1+2+...+2k+(2k+1)+2(k+1)=k*(2k+1)+(2k+1)+2(k+1)
=2*k*k+k+2k+1+2k+2=2*k*k+5*k+3=（k+1)*【2（k+1)+1】
=右邊 成立等式(k為正整數）；
綜上所述：當n為正整數時等式1+2+3+...+2n=n*(2n+1)成立。
3樓：厙代佛
關鍵是要知道倒數第二項
首先n=1時成立，然後假設n=m成立，證n=（m+1）成立
1+2+3+···++2m+(2m+1)+2(m+1)=m(2m+1)+(2m+1)+2(m+1)=2m^2+5m+3=(m+1)(2m+3)
4樓：名仕之都
1+2=(1+2)×(2÷2)
1+2+3=(1+3)×(3÷2)
1+2+3+4=(1+4)×(4÷2)
1+2+3+4+5=(1+5)×(5÷2)1+2+3+4+.......n=(1+n)×(n/2)1+2+3+···+2n=(1+2n)×(2n÷2)=n(2n+1)
用數學歸納法證明的步驟?
5樓：匿名使用者
基本步驟
（一）第一數學歸納法：
一般地，證明一個與自然數n有關的命題p(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立。
（二）第二數學歸納法：
對於某個與自然數有關的命題p(n），
（1）驗證n=n0時p(n）成立；
（2）假設n0≤n<=k時p(n）成立，並在此基礎上，推出p(k+1）成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立。
（三）倒推歸納法（反向歸納法）：
（1）驗證對於無窮多個自然數n命題p(n）成立（無窮多個自然數可以是一個無窮數列中的數，如對於算術幾何不等式的證明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假設p(k+1）（k≥n0）成立，並在此基礎上，推出p(k）成立，
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題p(n）都成立；
（四）螺旋式歸納法
對兩個與自然數有關的命題p(n），q(n），
（1）驗證n=n0時p(n）成立；
（2）假設p(k）（k>n0）成立，能推出q(k）成立，假設 q(k）成立，能推出 p(k+1）成立；
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），p(n），q(n）都成立。
6樓：匿名使用者
1． 第一數學歸納法
設p(n)是關於自然數n的命題，若
1）(奠基） p（n）在n=1時成立；
2）（歸納） 在p（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出p（k+1）成立，則p（n）對一切自然數n都成立。
推論1 奠基為n=j ，歸納出p（n）對n≥j的成立情況。
推論2 奠基為n=1，2，……m，由p（k）成立推出p（k+m）成立，歸納出對於所有自然數成立的情況。
2． 第二數學歸納法
奠基 p（n）在n=1時成立；
歸納 在p（n）（1≤n≤k，k為任意自然數）成立的假定成立下可以推出p（k+1）成立，則p（n）對於一切自然數成立。
3． 反向歸納法
設p（n）是關於自然數n的命題，若
1）p（n）對無限多個自然數n成立；
2）在p（k）（k是大於1的自然數）成立的假設下可以推出p（k-1）成立，則p（n）對一切自然數都成立。
用數學歸納法證明
7樓：
當n=1時，
抄x1=√2<2，成立
假設當n=k時，xk<2
則當n=k+1時，x(k+1)=√(2+xk)<√(2+2)=2，成立
所以對任意n，xn<2
因為x(n+1)=√(2+xn)>0，所以0有界又因為x(n+1)/xn=√(2+xn)/xn=√(2/xn^2+1/xn)>√(2/2^2+1/2)=1
所以x(n+1)>xn，即單調遞增
綜上所述，單調有界，即極限存在
不妨令的極限為a，則對x(n+1)=√(2+xn)兩邊求極限a=√(2+a)
a^2-a-2=0
(a-2)(a+1)=0
a=2或-1（捨去）
所以的極限為2
怎麼用數學歸納法證明
8樓：匿名使用者
數學歸納抄法的過程分為兩部分：
（1）先證明n=1時命題成立，在實際操作中，把n=1代進去就行了，就像要你證明「當n+1時1+n=2成立」
（2）假設n=k時命題成立，證明n=k+1時命題成立
你可以這樣理解：第一部分證明n=1成立。絕大部分命題，n取任意非零自然數都成立，既然這樣，先證最基本的n=1吧。
第二部分，既然當n=k成立時，n=k+1成立，那麼，n=1已經證明成立了，n=1+1，也就是n=2時也會成立。n=2成立，按照慣例n=2+1，也就是n=3成立。按照慣例，n=3+1，n=4+1……都會成立，所以所有的自然數都能使命題成立。
你可以把第一部分當作一個堅實的基礎，既然n取任意自然數成立（大部分命題是如此），那麼n=1成立是理所當然的。第二部分是一個骨牌的過程，1證明2，2證明3，3證明4……證明所有非0自然數。
用數學歸納法證明過程的問題
9樓：匿名使用者
二樓正解。
數學歸納法的思想是：當n=1成立時，假設(注意是假設)n=k時成立，如果通過 n=k 的結論（注意，是通過n=k的結論）能夠推出 n=k+1 也成立，則該式成立。
很顯然k和k+1並不一樣，k+1比k大一，嘿嘿。也就是說，如果k=1,k+1就等於2；如果k=2,k+1就等於3；……如果k=100000000000,k+1就等於100000000001.
很顯然，如果我們已經證明了n=1時某式成立，如果假設當n=k時成立(k是個變數哦，你想它是幾就是幾哦)推匯出 n= k+1 時成立，那麼我們就完全可以推匯出當n=2時成立（因為1成立，當k=1時，由於k+1也成立，所以n=2時成立），既然n=2都成立了，那n=3當然也成立啦……既然n=100000000000都成立了，那n=100000000001當然也成立啦。
(補充一下，我看到樓主問說「假如n=k剛好與這個式子矛盾不成立」其實這個假設是不存在的，因為數學歸納法就是要假設n=k時成立)
10樓：聖鳥蒼鷺
恩 你要理解的話不能那麼想
首先 已經證明了n=1成立
假設n=k成立 如果能推出n=k+1成立的話那麼n=1就可以推出n=2 然後一直迴圈下去這裡n=1相當於是一個基石
指導你一直往下
還有在第二步中，在遞推之前， 時結論是否成立是不確定的，因此用假設二字，這一步的實質是證明命題對 的正確性可以傳遞到 時的情況.有了這一步，聯絡第一步的結論（命題對 成立），就可以知道命題對 也成立，進而再由第二步可知 即 也成立，…，這樣遞推下去就可以知道對於所有不小於 的正整數都成立.在這一步中， 時命題成立，可以作為條件加以運用，而 時的情況則有待利用歸納假設、已知的定義、公式、定理加以證明，不能直接將 代入命題.
看到你補充了的
假設n=k成立 不是去設n=k+1成立 而是利用n=k成立這一條件去證明n=k+1成立
如果還有不懂的 直接來問我好啦
o(∩_∩)o~
11樓：呂四木
這涉及到第二數學歸納法的問題，對於你的問題補充「既然n=k成立那麼，n=k+1也成立」，你的兩個都是假設，那對結果沒有幫助。前面的假設是後面的基石，此外，我要糾正你的一個說法，正確說法應是：假設當n取k時成立，那麼當（是「當」而非「設」）n取k+1時。
接下來就是證明。 這其中包含了部分邏輯學，有點複雜， 假設當n取k的時候成立,接下來就是如何證明n取k+1時成立，實際上這是一個一直向正無窮延伸的過程，這種證法的完美你也要自己體會。 實際上第二步假設n=k時命題成立，和第三步證明n=k+1在n=k時命題成立情況下也成立，就是證明，「如果前一個數能夠滿足那個式子成立，那麼他的後一個數（就是比他大1的數）也能使式子成立」這個命題。
你仔細考慮，這不矛盾的。
12樓：匿名使用者
如果n=k不成立你就證明不出n=k+1
這個問題可以用遞推的方法來看
如果n=1成立可以證明n=2成立
n=2成立可以證明n=3成立
n=3成立可以證明n=4成立
n=4成立可以證明n=5成立
……那麼n=k也可以證明n=k+1
但如果n=1成立不能證明n=2成立
那n=k也無法證明n=k+1成立
假設也就是個錯誤的假設
understand？？？
13樓：希澤爾
對不起，剛才理解錯你的意思了。
關於數學歸納法的思想樓上幾位其實已經講得很清楚了，你的問題確實要設計到數理邏輯方面的知識，所以只能淺層地講下，
個人看法是：
既然已經有了n=1時命題是成立的，那麼假設n=k時也成立也是順理成章的，因為我們已經有了一個k=1使得命題成立，而如果n=k成立能夠推出n=k+1時也成立，那麼由遞推的思想當然能夠推出命題成立。
至於你的問題「假如n=k剛好與這個式子矛盾不成立，那又怎麼證明n=k+1時成立呢」，我認為沒有考慮的必要，因為我們要驗證命題的正確與否只需關心n=k成立的情況即可，而對於n=k不成立的情況是否能夠推出n=k+1成立其實對我們驗證命題沒有任何幫助。舉個例子，如果我們要驗證「如果天下雨，地就溼」，我們只需關心「天真的下雨時，地是否溼」，至於「天沒下雨」時地不管溼不溼都不能否定這個命題，因為前提是「如果天下雨」。
這個問題也是同樣道理如果n=k是不成立的也不會影響最後命題的真假。
呃~ 不知道這樣說你能不能懂？
你不能那樣想，k和k+1是前一個與後一個的關係，不能視為等同。假設n=k成立，是要你由這個假設去推導n=k+1也成立，此處就不能再用假設去得出n=k+1成立了，而是要用推導驗證。當然你假設n=k+1也可以，那樣的話你就要由n=k+1去推導n=k+2成立，道理與前面是一樣的。
如果照你的說法，k與k+1一樣，那麼對於任意的n命題都成立，當然就不用證明啦。這樣就像說「假設這個命題是成立的，那當然可以推出這個命題是正確的」，很明顯這種說法並沒有真正地證明了命題。
用數學歸納法證明 1 ，用數學歸納法證明 1 1 2 1 3 1 4 1 2n 1 1 2n 1 n 1 1 n 2 1 n
n 1時，左 1 1 2 1 2 右面 1 2成立，假設n k時，成立 1 1 2 1 3 1 4 1 2k 1 1 2k 1 k 1 1 k 2 1 k k 則n k 1時，右 1 k 2 1 k 3 1 k 1 k 1 2k 2 1 k 2 1 k 3 1 2k 1 1 2k 2 1 左 1 1...
用數學歸納法證明的步驟，用數學歸納法證明
基本步驟 一 第一數學歸納法 一般地，證明一個與自然數n有關的命題p n 有如下步驟 1 證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對於一般數列取值為0或1，但也有特殊情況 2 假設當n k k n0，k為自然數 時命題成立，證明當n k 1時命題也成立。綜合 1 2 對一切自然數n n0 命題p n ...
用數學歸納法證明過程的問題，用數學歸納法證明的步驟
二樓正解。數學歸納法的思想是 當n 1成立時，假設 注意是假設 n k時成立，如果通過 n k 的結論 注意，是通過n k的結論 能夠推出 n k 1 也成立，則該式成立。很顯然k和k 1並不一樣，k 1比k大一，嘿嘿。也就是說，如果k 1,k 1就等於2 如果k 2,k 1就等於3 如果k 100...