1樓：匿名使用者
（1）二元一次方程組及代入法
一、本講教學內容及要求
瞭解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念。
會檢查一對數值是不是某個二元一次方程的一個解。
靈活運用代入法解二元一次方程組。
瞭解代入法解二元一次方程組的思想方法。
二、本講的重點、難點和關鍵：
1．重點：一次方程組的解法——代入法和加減法。
2．難點：選用合理、簡捷的方法解二元一次方程組。
3．關鍵：瞭解「消元法」的思想方法，設法消去方程中的一個未知數將「二元」轉化成「一元」。
靈活地運用「代入法」和「加減法」。
三、本講重要數學思想：
1．通過一次方程組解法的學習，領會多元方程組向一元方程轉化（化歸）的思想。
2．在較複雜的方程組解法的訓練中，滲透換元的思想。
四、主要數學能力：
1．通過用代入消元法解二元一次方程組及加減消元法解二元一次方程組的訓練及選用合理、簡捷的方法解方程組，培養運算能力。
2．通過對方程組中未知數係數特點的觀察和分析，明確二元一次方程組的主要思路是「消元」，從而促成未知向已知的轉化，培養觀察能力和發展邏輯思維能力。
五、化歸思想：
「解題就是把習題歸結為已經解過的問題」這種關於解題的數學思想稱為「化歸」。它體現了「在一定條件下，不同事物可以互相轉化。」的唯物辯證觀點，是解數學題的一盞指路明燈。
本章中「化歸」思想的突出運用有：
1．化陌生為熟悉。「化二元為一元」，化「三元為二元」。即將陌生的二元一次方程組化為熟悉的一元一次方程來解。
這種將陌生的問題化為熟悉的問題來處理，這是數學解題中具有普遍指導意義的數學思想。應該深入地領會並自覺地運用到數學的學習中。
2．化複雜為簡單。解方程組時，形式複雜的二元一次方程組往往難以直接消元或不便於直接消元時，一般要把它先化為形式簡單的方程組然後再消元求解。
3．化實際問題為數學問題。利用一次方程組的知識求解有關的應用題時，分析方法與解題步驟與列出一元一次方程解應用題類似。通過認真分析題目中的未知量和已知量之間的關係，找出它們相等關係據此列出方程組。
將應用問題「化為」解方程組的問題來解決。把實際問題化為數學問題來處理，這是利用數學知識解實際問題的基本途徑。
六、易錯分析：
1.判斷一個方程是不是二元一次方程，一般要將方程化為一般形式後再根據定義判斷。
2.二元一次方程的解:一個二元一次方程有無數個解，而每一個解都是一對數值。
求二元一次方程的解的方法：若方程中的未知數為x，y，可任取x的一些值，相應的可算出y的值，這樣，就會得到滿足需要的數對。
3.二元一次方程組:兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
作為二元一次方程組的兩個方程，不一定都含有兩個未知數，可以其中一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程。
4.二元一次方程組的解:使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。
檢驗一對數值是不是二元一次方程組的解的方法是，將兩個未知數分別代入方程組中的兩個方程，如果都能滿足這兩個方程，那麼它就是方程組的解。
5．運用代入法解方程組應注意的事項：
（1）不能將變形後的方程再代入變形前的那個方程。
（2）運用代入法要使解方程組過程簡單化，即選取係數較小的方程變形。
（3）要判斷求得的結果是否正確。
6．對二元一次方程組的解的理解：
（1）方程組的解是指方程組裡各個方程的公共解。
（2）「公共解」的意思，實際上包含以下兩個方面的含義：
①因為任何一個二元一次方程都有無數個解，所以方程組的解必須是方程組裡某一個方程的一個解。
②而這個解必須同時滿足方程組裡其中任何一個方程，因此二元一次方程組的解一定同時滿足這個方程組裡兩個方程的任何一個方程。
例1、已知方程3xm+3-2y1-2n=15是一個二元一次方程，求m和n的值。
分析：二元一次方程必須是同時符合下列兩個條件的整式方程：①方程中含有兩個未知數；②方程中含有未知數的項的次數都是1。
解：由題意得：m+3=1,1-2n=1
∴ m=-2,n=0
例2、下列方程組中，是二元一次方程組的有哪些？
（1） （2） （3） （4） （5）
分析：由二元一次方程組的定義可知：①方程組中的每個方程必須都是一次方程；②方程組中的未知數共有兩個；③方程組中的兩個方程必須都為整式方程，方程組（1）中含有3個未知數；（2）中的xy=2是二元二次方程；
（5）中的 +y=6不是整式方程。
解：（3），（4）是二元一次方程組。
例3、方程組 的解為（ ）
（a） （b） （c） （d）以上答案均不對
分析：未知數x、y的一對值必須同時滿足已知方程組的每個方程，才是方程組的解。
解：把x=-2,y=2代入方程①，
左邊=3×（-2）+4×2=2=右邊，
再代入方程②，
左邊=2×（-2）-2=-6，右邊=5
∵ 左邊≠右邊。
∴ （a）滿足方程①但不滿足方程②，故不是原方程組的解。
同理可得，（b）滿足方程①又滿足方程②，所以是原方程組的解；而（c）滿足方程②但不滿足方程①，故不是方程組的解。
∴ 答案選擇b。
例4．已知 是方程3x-ay-2a=3的一個解，求a的值。
分析：由 是方程3x-ay-2a=3的一個解，可以理解為x, y的值適合方程 3x-ay-2a=3，也就是說方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取 時方程成立。這樣就可以將x=-2，y= 代入方程中，轉化為關於a的一元一次方程，可求出a值。
解：∵ x=-2, y= 是方程3x-ay-2a=3的一個解，
∴ 3(-2)-a( )-2a=3
∴ -6- -2a=3, ∴ - a=9, ∴ a=-
例5、解方程組
分析：用代入法解二元一次方程組時，要儘量選取一個未知數的係數的絕對值是1的方程去變形，此例中②式y的係數為-1，所以用含x的代數式表示y，代入①中消去y。
解：由②得y=5x-3 ③
把③代入①得2x+3(5x-3)=-9,
17x=0, x=0
把x=0代入③得y=-3
∴例6、解方程組
分析：由於兩個方程中x的係數都是2，代入時可把方程②直接代入方程①，而不必寫成x= 。
解：把②代入①，得3y+1-4y=3,
∴ y=-2
把y=-2代入②，得2x=3×(-2)+1,
∴ x=-2 ∴
說明：此題也可由①得2x=4y+3，代入②求解，由此題的解法可看出，解方程組時根據題目的具體特點採取靈活的方法會使問題簡化。
例7、解方程組
分析：這兩個方程都需要整理成標準形式，這樣有利於確定消去哪個未知數。
解：整理原方程組，得
由④得，y=3x-4 (5)
把⑤代入③，得3x-2(3x-4)=2,
x=2把x=2代入⑤，得y=3×2-4=2，
∴練習：
填空題：
（1）已知方程2x2n-1-3y3m-n+1=0是二元一次方程，則m=__________,n=____________。
（2）方程①y=3x2-x;②3x+y=1;③2x+4z=5z;④xy=1;⑤ +y=0;⑥x+y+z=1;⑦ +x=4中，是二元一次方程的有________________。
（3）二元一次方程 x- y=5有____________個解。
（4）用代入法解二元一次方程組
最為簡單的方法是將________式中的_________表示為__________，再代入__________。
答案：（1） ，1 （2）② ③ ⑤ （3）無窮多 （4）①，x , x=6-5y ,②
測試選擇題
1．方程5x-3y=6的解是（ ）。
a、只有一個 b、只有二個 c、有無數個 d、無解
2．方程x+2y-3=0中，x,y均為非負整數，那麼x,y的值分別是（ ）。
a、3，0 b、1，2 c、1，1 d、1，1或3，0
3．方程3a+b=9，在正整數範圍內的解的個數是（ ）。
a、1個 b、2個 c、3個 d、無數個
4．如果 是方程2x=3y+2k的一組解，那麼k的值為（ ）。
a、4 b、2 c、 d、
5．對於方程3x-5=7y，用含x的代數式表示y，是（ ）。
a、3x=7y+5 b、y= c、7y=3x-5 d、
6．下面幾個陣列中，哪個是方程7x+2y=19的一個解（ ）。
a、 b、 c、 d、
7．下列方程組中，不是二元一次方程組的是（ ）。
a、 b、 c、 d、
8．在四對數值中，是方程組 的解是（ ）。
a、 b、 c、 d、
9．如果 （其中b≠0）是方程5x+y=0的一個解，則（ ）。
a、a,b一定同號 b、a,b一定異號
c、a,b可能同號，也可能異號 d、b≠0,a=0
10．下列各方程組中，哪此是二元一次方程組（ ）。
① ② ③ ④
a、①②③ b、②③ c、③④ d、①②
答案與解析
答案：1.c 2.d 3.b 4.b 5.b 6.a 7.d 8.d 9.b 10.c
中考解析
二元一次方程組
考點掃描:
1．瞭解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的概念，
2．會檢查一對數值是不是某個二元一次方程的一個解。
名師精講:
1．二元一次方程:含有兩個未知數，並且未知數的次數是1，這樣的方程叫做一元二次方程。它的標準形式為：ax+by=c（a,b≠0）。
2．二元一次方程的解：使二元一次方程左、右兩邊的值相等的一對未知數的值，叫做二元一次方程的一個解。一個二元一次方程有無數個解。
一般地，給定方程中一個未知數的值，可求出相應的另一個未知數的值，那麼，這一對數就是二元一次方程的解。
3．二元一次方程組：兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。它的一般形式是：
作為二元一次方程組中的兩個方程，不一定都含有兩個未知數，可以其中一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程。
4．二元一次方程組的解
兩個二元一次方程的公共解叫做二元一次方程組的解。檢驗一對數值是不是二元一次方程組的解的方法是，將兩個未知數分別代入方程組中的兩個方程，如果都能滿足這兩個方程，它就是方程組的解。
說明：本節是二元一次方程及二元一次方程組的有關概念，一般中考不單獨命題。
用代入法解二元一次方程組
考點掃描:
1．掌握運用代入法解二元一次方程組的方法步驟。
2．瞭解代入法解二元一次方程組的基本思想。
名師精講:
1．用代入法解二元一次方程組的基本思想是「消元」，即把「二元」轉化為「一元」，這種方法，體現了數學的「化繁為簡」的基本思想。
2．用代入法解二元一次方程組的步驟是：
（1）從方程組中選一個係數比較簡單的方程，將這個方程中的一個未知數，用含有另一個未知數的代數式表示出來；
（2）將變形後的方程代入另一個方程中，得到一個一元一次方程；
（3）解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；
（4）把求得的未知數的值代入（1）所得式子中，求出另一個未知數的值，從而得出方程組的解；
3．運用代入法解方程組應注意的事項：
（1）不能將變形後的方程再代入變形前的那個方程。
（2）如果兩個方程中的x，y的四個係數中，有一個係數是1或-1，選取該方程進行變形，用另一個未知數把係數是1或-1的未知數表示出來，可使解方程的過程簡單化。
（3）要檢驗求得的結果是否正確。
中考典例
1．（湖南長沙）解二元一次方程組：
考點：二元一次方程組的解法
評析：本題第二方程中x的係數是1，y的係數是-1，將第二方程變形，用x表示y或用y表示x都較簡單。解題具體過程如下。
解：由（2）得x=y-5 （3）
將（3）代入（1）得2y-10+3y=40
解得y=10
將y=10代入（3）得x=5
∴真題專練:
1．（福建福州）已知a:b=3:1，且a+b=8，則a-b=_______。
2．（江西）方程組 的解_______。
答案：1．4
解：設a＝3x，b＝x
則 a＋b＝3x＋x＝8
∵ x＝2
∴ a＝6 b＝2
a－b＝4
2． 解題過程如下：由①得x＝5—y③，將③代入②得5—y—2y＝-1，
解得：y＝2，將y＝2代入③得x＝5—2＝3 ∴
課外拓展
不定方程趣談
一、從「百錢買百雞」談起
5世紀末，我國數學家張丘建寫了一本《算經》，書中有一道世界數學史上有名的「百錢買百雞」題：
一隻公雞5元，一隻母雞3元，三隻小雞1元，用100元想買100只雞，問公雞、母雞和小雞各買幾隻？
如果設買公雞x只，母雞y只，小雞z只，那麼可列得方程組
（2）×3—（1） ，得14x+8y=200,
即 7x+4y=100..........③
①和②兩個方程組成一個有三個未知數的方程組，經過消元，化為含有兩個未知數的一個方程③。在方程③裡，如果x取一個值，就可以求出與它對應的y的一個值。例如
取 x=-2, 則y=28.5；
取 x=0, 則y=25；
取 x=1.6, 則y=22.2；
取 x=4, 則y=18；
……因為③是一個二元一次方程，它有無數個解，所以原方程組也有無數個解。例如
∵ 由(1)得 z=100-x-y,
∴ 取 x=-2, 則y=28.5, 從而z=73.5；
取x=0, 則y=25, 從而z=75；
取x=1.6, 則y=22.2, 從而z=76.2；
取x=4, 則y=18, 從而z=78；
……一般來說，未知數的個數多於方程的個數，那麼它的解就不確定，所以這類方程（組）叫做不定方程（組）。但是，不定方程（組）在特定的條件下，有時可以找到它的確定的解，如「百錢買百雞」的問題，因為雞的只數是非負整數，所以就有四組解。
二、二元一次方程的整數解
我們這裡只討論二元一次不定方程ax+by=c（其中a、b是非零整數，c是整數）的整數解。
例1 求不定方程7x+4y=100的整數解。
解：4y=100-7x,
y= =25- x,
因為x，y都是整數，所以x必須是4的整數倍，即
x …… -16 -12 -8 -4 0 4 8 12 16 ……
y …… 53 46 39 32 25 18 11 4 -3 ……
回過來看「百錢買百雞」問題，因為雞的只數是非負整數，所以從例1的解中可以得到四組解：
例2 求不定方程6x-9y=16的整數解。
解：因為6和9的最大公約數是3，所以方程的兩邊同除以3，得
2x-3y=
由於x和y都是整數，因此方程的左邊（2x-3y）也是整數，然而方程的右邊是分數 ，矛盾！故本題無整數解。
從上面兩個例子看到，如果二元一次不定方程 ax+by=c（其中a、b是非零整數，c是整數）中，
（1）a和b互質，方程有整數解；
（2）a和b不互質，但它們的最大公約數能整除c，方程有整數解；
（3）a和b不互質，又它們的最大公約數不能整除c，方程無整數解。
（證明略）
三 、舉例
小明外婆送來滿滿一籃雞蛋，這隻籃子最多隻能裝55只左右的雞蛋。小明3只一數剩1只，忘了數多少次，因此只好重數。他5只一數剩2只，可又忘了數多少次。
他準備再數，小明媽媽就說：「不用數了。」小明呆呆地望著媽媽，媽媽的眼珠轉動幾下，就說：
「共有雞蛋52只。」小明驚訝地問媽媽怎樣知道的，媽媽告訴小明，她是這樣求得答案的：
設籃子裡最多能放雞蛋m只；每3只一數，共x次，剩1只；每5只一數，共數y次，剩2只，即
因此有 3x+1=5y+2，
整理得 y=
因為x，y都是正整數，所以（3x-1）也必定是5的整數倍，即有
x 2 7 12 17 22 ……
y 1 4 7 10 13 ……
m 7 22 37 52 67 ……
因為籃子裡的雞蛋是滿滿的，又不超過60只，所以m是52,也就是說籃子裡有52只雞蛋。
小明滿意地微笑，說：「日常生活中也有不定方程的問題！」
二元一次方程，二元一次方程是什麼
1.2008x 2007y 2006 2006x 2005y 2004 2x 2y 2，x y 1 2008x 2007y 2007 x y x 2006，將x y 1代入 2007 x 2006 x 1 則y 2 2.a 2 x a 1 y a，a 1 x y x a b 2 x b 1 y b，...
二元一次方程怎麼求解，求解二元一次方程。
一 代入消元法 將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最後求得方程組的解。2 加減消元法 當方程中兩個方程的某一未知數的係數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元...
二元一次方程怎麼解，二元一次方程怎麼解
消元 是解二元一次方程的基本思路。所謂 消元 就是減少未知數的個數，使多元方程最終轉化為一元方程再解出未知數。這種將方程組中的未知數個數由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。一。代入消元法。解二元一次方程的一般步驟。用代入消元法解二元一次方程組的步驟 1 從方程組中選取一個係數比較簡單的方程，把其...