1樓：匿名使用者
對向量組 ，如果存在一組不全為零的數 , 使得
那麼, 稱向量組 線性相關. 如果這樣的 個數不存在, 即上述向量等式僅當 時才能成立, 就稱向量組 線性無關.
含零向量的向量組 一定線性相關 , 因為
其中, 不全為零.
只有一個向量 組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 .
考慮齊次線性方程組
(*)它可以寫成
， 或, 其中
. 由此可見, 向量組 線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組 線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解.
例1 向量組 是線性無關的 .
解: 設有 使
, 即, 得齊次線性方程組
. 解此方程組得 , 所以向量組 線性無關.
例2 設向量組 線性無關, 又設 , 證明向量組 也線性無關.
證明: 設有 使
, 即, 因為 線性無關, 故有
此線性方程組只有零解 , 也即向量組 線性無關.
定理 9.1 向量組 線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘 個向量線性表示 .
證明: 必要性 設 線性相關, 即存在一組不全為零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有
, 即 可以由其餘 個向量 線性表示. 其實, 在向量等式 中, 任何一個係數 的向量 都可以由其餘 個向量線性表示 .
充分性 設向量組 中有一個向量能由其餘 個向量線性表示 . 不妨設
, 則, 因為 不全為零, 所以 線性相關.
二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :
設矩陣 的列向量組為 ,
矩陣 的列向量組為 ,其中矩陣 是通過對矩陣 做行初等變換後得到的.我們有以下定理:
定理 9.2 向量組 與向量組 有相同的線性相關性.
證明 :記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.
當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.由於齊次線性方程組 或者只是對調了 的第 個方程與第 個方程的位置,或者只是用非零數 承 的第 個方程,或者只是把 的第 個方程的 倍加到第 個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組 有相同的線性相關性.
定理 9.3 如果向量組 線性相關,那麼 也線性相關.
證明 :向量組 線性相關,即存在不全為零的數 使
, 於是
, 但是 , 仍不全為零,因此,向量組 線性相關.
推論 9.4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組.
定理 9.5 設有 維向量組
與 維向量組
如果向量組 線性無關,那麼,向量組 也線性無關.
推論 9.6 維向量組的每一個向量新增 個分量成為 維向量.如果 維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.
反言之,如果 維向量組線性相關,那麼, 維向量組也線性相關.
定義 9.2 在 型的矩陣 中,任取 行 列 ,位於這些行列交叉處的 個元素,不改變它們在 中所處的位置次序而得的 階矩陣行列式,稱為矩陣 的 階子式.
型矩陣 的 階子式共有 個.
定理 9.7 設 維向量組 構成矩陣
則向量組 線性無關的充分必要條件是矩陣 中存在一個不等於零的 階子式.
推論 9.8 個 維向量組線性無關的充分必要條件是它們所構成的 階矩陣的行列式不等於零.
推論 9.9 當 時, 個 維向量 必線性相關.
2樓：小灰馬
線性相關性與向量的線性表示有關
有個刻畫線性相關的定理: 向量組線性相關的充要條件是至少有一個向量可由其餘向量線性表示。
所以可以這樣理解: 線性相關的向量組中有"多餘"的向量, "多餘"是指它可由其餘向量表示
而向量組的極大無關組(線性無關)就可理解為向量組精減後的代表。
3樓：匿名使用者
相關就是一個矩陣用引數可以表示出另一個矩陣a=a*b+c
什麼叫線性相關，什麼叫線性無關
4樓：愛做作業的學生
例子：有向量組 a1,a2,a3,如果存在一組不全為零的數k1,k2,k3,使得k1*a1 + k2*a2 +k3*a3 = 0
那麼，這三個向量是線性相關的。如果只有k1=k2=k3=0時，上面這個等式才成立，那麼這三個向量就是線性無關的。
如果這三個向量線性相關，那麼它們在同一個平面上。
同理，如果是兩個向量線性相關，那麼它們在同一直線上。
擴充套件資料
1、對於任一向量組而言，不是線性無關的就是線性相關的。
2、向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說a線性相關; 若a≠0, 則說a線性無關。
3、包含零向量的任何向量組是線性相關的。
4、含有相同向量的向量組必定線性相關。
5、增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)
6、減少向量的個數，不改變向量的無關性。(注意，原本的向量組是線性無關的）
5樓：1路邊的星星
我是這樣理解的：比如說，三維直角座標系中的基底i，j，k（夾角互為90°），假設向量m=xi+yj+zk，m可以等於任意值，也就是該空間的任意向量，即i，j，k可以表示空間的所有向量，這裡的i，j，k就是線性無關。
相應的，任意三個向量a，b，c（全不等於0）不共面即可表示出三維空間的所有向量,稱a,b,c線性無關；
如果向量a，b，c共面，則不能表示出整個空間，稱a，b，c線性相關。
同樣的，在二維平面（平面直角座標系）中情況類似，向量a和b共線，即a=mb也就是a+nb=0（m=-n∈r）（三維以及n維也可以這樣表示出來），這裡a和b就是線性相關；否則就是線性無關。
6樓：匿名使用者
比如有三個數a，b，c
如果存在不全為0的三個數m，n，k
使得ma+nb+kc=0
就說a，b，c線性相關 否則若只有當m=n=k=0時成立，則它們線性無關
其實a，b，c代表的東西很多，不一定就是數字，也可以是向量啊，等等數量也不一定是三個，在這只是舉個例子，也可以是無限多個
7樓：月亮跳唉
2、例如在三維歐幾里得空間r3的三個向量(1, 0, 0)，(0, 1, 0)和(0, 0, 1)線性無關。但(2, 1, 1)，(1, 0, 1)和(3, 1, 2)線性相關，因為第三個是前兩個的和。
如何理解矩陣的線性相關和無關？
1、線性相關性與向量的線性表示有關，刻畫線性相關的定理: 向量組線性相關的充要條件是至少有一個向量可由其餘向量線性表示。
2、 線性相關的向量組中有"多餘"的向量, "多餘"是指它可由其餘向量表示，而向量組的極大無關組(線性無關)就可理解為向量組精減後的代表。
如何判斷向量的線性相關和線性無關性
8樓：匿名使用者
1、定義法
令向量組的線性組合為零（零向量），研究係數的取值情況，線性組合為零當且僅當係數皆為零，則該向量組線性無關；若存在不全為零的係數，使得線性組合為零，則該向量組線性相關。
2、向量組的相關性質
（1）當向量組所含向量的個數與向量的維數相等時，該向量組構成的行列式不為零的充分必要條件是該向量組線性無關；
（2）當向量組所含向量的個數多於向量的維數時，該向量組一定線性相關；
（3）通過向量組的正交性研究向量組的相關性；
（4）通過向量組構成的齊次線性方程組解的情況判斷向量組的線性相關性；線性方程組有非零解向量組就線性相關，反之，線性無關。
（5）通過向量組的秩研究向量組的相關性。若向量組的秩等於向量的個數，則該向量組是線性無關的；若向量組的秩小於向量的個數，則該向量組是線性相關的。
9樓：匿名使用者
1. 顯式向量組
將向量按列向量構造矩陣a
對a實施初等行變換, 將a化成梯矩陣
梯矩陣的非零行數即向量組的秩
向量組線性相關 <=> 向量組的秩 < 向量組所含向量的個數2. 隱式向量組
一般是 設向量組的一個線性組合等於0
若能推出其組合係數只能全是0, 則向量組線性無關否則線性相關.
滿意請採納^_^.
10樓：芒克族
列出矩陣，對矩陣進行等效變換，最後化簡成上三角矩陣形式，如果有的行全部元素為零，則線性相關，否則線性無關
11樓：匿名使用者
直接按照定義就可以了，或者把他們做成矩陣，如果對應的行列式值為零就說明是線性無關性否則是線性相關
怎樣簡單的判斷線性相關和線性無關
12樓：北大學霸
一、 定義與例子 :定義 9.1 對向量組 ，如果存在一組不全為零的數 , 使得 那麼, 稱向量組 線性相關.
如果這樣的 個數不存在, 即上述向量等式僅當 時才能成立, 就稱向量組 線性無關. 含零向量的向量組 一定線性相關 , 因為 其中, 不全為零. 只有一個向量 組成的向量組線性無關的充分必要條件是 , 線性相關的充分必要條件是 .
考慮齊次線性方程組 (*) 它可以寫成 ， 或 , 其中 . 由此可見, 向量組 線性相關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 有非零解. 也就是說, 向量組 線性無關的充分必要條件是齊次線性方程組 (*) 只有零解.
例1 向量組 是線性無關的 . 解: 設有 使 , 即 , 得齊次線性方程組 .
解此方程組得 , 所以向量組 線性無關. 例2 設向量組 線性無關, 又設 , 證明向量組 也線性無關. 證明:
設有 使 , 即 , 因為 線性無關, 故有 此線性方程組只有零解 , 也即向量組 線性無關. 定理 9.1 向量組 線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以由其餘 個向量線性表示 .
證明: 必要性 設 線性相關, 即存在一組不全為零的數 , 使得 . 不妨設 , 則有 , 即 可以由其餘 個向量 線性表示.
其實, 在向量等式 中, 任何一個係數 的向量 都可以由其餘 個向量線性表示 . 充分性 設向量組 中有一個向量能由其餘 個向量線性表示 . 不妨設 , 則 , 因為 不全為零, 所以 線性相關.
二、向量組線性相關和線性無關判別定理 :設矩陣 的列向量組為 , 矩陣 的列向量組為 ,其中矩陣 是通過對矩陣 做行初等變換後得到的.我們有以下定理:
定理 9.2 向量組 與向量組 有相同的線性相關性. 證明 :
記 .那麼,當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.當且僅當齊次線性方程組 有非零解時向量組 線性相關.
由於齊次線性方程組 或者只是對調了 的第 個方程與第 個方程的位置,或者只是用非零數 承 的第 個方程,或者只是把 的第 個方程的 倍加到第 個方程上去,這連個方程組一定是同解的,所以,對應的向量組 有相同的線性相關性. 定理 9.3 如果向量組 線性相關,那麼 也線性相關.
證明 :向量組 線性相關,即存在不全為零的數 使 , 於是 , 但是 , 仍不全為零,因此,向量組 線性相關. 推論 9.
4 線性無關向量組的任意一個非空部分組仍是線性無關向量組. 定理 9.5 設有 維向量組 與 維向量組 如果向量組 線性無關,那麼,向量組 也線性無關.
推論 9.6 維向量組的每一個向量新增 個分量成為 維向量.如果 維向量組線性無關,那麼, 維向量組也線性無關.
反言之,如果 維向量組線性相關,那麼, 維向量組也線性相關. 定義 9.2 在 型的矩陣 中,任取 行 列 ,位於這些行列交叉處的 個元素,不改變它們在 中所處的位置次序而得的 階矩陣行列式,稱為矩陣 的 階子式.
型矩陣 的 階子式共有 個. 定理 9.7 設 維向量組 構成矩陣 則向量組 線性無關的充分必要條件是矩陣 中存在一個不等於零的 階子式.
推論 9.8 個 維向量組線性無關的充分必要條件是它們所構成的 階矩陣的行列式不等於零. 推論 9.
9 當 時, 個 維向量 必線性相關. 思考題：1、 舉例說明下列各命題是錯誤的 (1) 若向量組 線性無關，則 可由 線性表示; (2) 若有不全為零的數 使 則 線性相關, 也線性相關; (3) 若只有當 全為零時, 等式 才能成立 線性無關, 也線性無關; (4) 若 線性相關, 也線性相關, 則有不全為零的數 , 使 同時成立.
2、 判斷下列向量組是否線性相關 : (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 3． 設向量組 線性無關, 討論向量組 的線性相關性 .
4、 設向量組 線性無關, 線性相關, 則 必可由向量組 線性表示. 5 、選擇題 (1) 維向量組 線性無關的充分必要條件是 a. 存在一組不全為零的數 , 使 ; b.
中任意兩個向量都線性無關 ; c. 中存在一個向量 , 它不能由其他向量線性表示 ; d. 中任意一個向量都不能被其他向量線性表示 .
(2) 已知向量組 線性無關, 則向量組 a. 也線性無關; b. 也線性無關; c.
也線性無關; d. 也線性無關. (3) 設有任意兩個 維向量組 與 .
如果存在兩組不全為零的數 與 使 則 a. 與 . 線性相關; b.
與 . 線性無關; c. 線性無關; d.
線性相關.
線性相關性是個什麼概念，線性相關的含義
如果ax by c 0，就說x和y是線性相關的，x,y可以是變數，矩陣，向量 等等等 最直接一點，如果x和y有倍數關係，那肯定就是線性相關的 農輝嬴夢寒 一樓把概念理解錯了，線性代數裡面的 線性相關 和統計學上的 線性相關 是兩個不同的概念。在 等投資分析領域，線性相關是對兩個或兩個以上的因素 比如...
線性代數線性相關這個題的解題思路是什麼啊完全沒頭緒
你好！答案是c。因為 2線性無關，而 2，1線性相關，由定理知 1可由 2線性表示，從而 1可由 2，3線性表示。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！線性代數，題在圖中，這種題的解題思路是什麼？ 1可以被線性表示，那麼k 1也一定能背線性表示。無非就是原來的線性表示係數都乘以一個k而已。2不能被...
為什麼說nn維向量必線性相關怎麼理解翱
薔祀 以n 1個n維向量作為列向量構成的矩陣的秩不超過n 矩陣的秩不超過其行數和列數中小的那個 所以 r a n 所以 a 的列向量組的秩 n 即 n 1個n維向量 的秩 n 故線性相關。擴充套件資料 矩陣的秩 引理設矩陣a aij sxn的列秩等於a的列數n，則a的列秩，秩都等於n。定理矩陣的行秩...