三角函式的公式,怎麼算,最好詳細點的,謝謝

時間 2021-10-30 04:53:52

1樓:西風戰馬

倒數關係:

tanα ·cotα=1

sinα ·cscα=1

cosα ·secα=1

商的關係:

sinα/cosα=tanα=secα/cscα

cosα/sinα=cotα=cscα/secα

平方關係:

sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α)

1+cot^2(α)=csc^2(α)

平常針對不同條件的常用的兩個公式

sin^2(α)+cos^2(α)=1

tan α *cot α=1

一個特殊公式

(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=sin(a+θ)*sin(a-θ)

證明:(sina+sinθ)*(sina-sinθ)=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]

=sin(a+θ)*sin(a-θ)

銳角三角函式公式

正弦: sin α=∠α的對邊/∠α 的斜邊

餘弦:cos α=∠α的鄰邊/∠α的斜邊

正切:tan α=∠α的對邊/∠α的鄰邊

餘切:cot α=∠α的鄰邊/∠α的對邊

二倍角公式

正弦sin2a=2sina·cosa

餘弦1.cos2a=cos^2(a)-sin^2(a)

2.cos2a=1-2sin^2(a)

3.cos2a=2cos^2(a)-1

即cos2a=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)

正切tan2a=(2tana)/(1-tan^2(a))

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推導

sin(3a)

=sin(a+2a)

=sin2acosa+cos2asina

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos2acosa-sin2asina

=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin²a)

=4sina[(√3/2)²-sin²a]

=4sina(sin²60°-sin²a)

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos²a-3/4)

=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]

=4cosa(cos²a-cos²30°)

=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得

tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)

三倍角公式

sin3α=3sinα-4sin^3(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

半形公式

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

半形公式

tan(a/2)=(1-cosa)/sina=sina/(1+cosa);

cot(a/2)=sina/(1-cosa)=(1+cosa)/sina.

sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2

cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2

tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))

和差化積

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)

tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)

兩角和公式

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ

積化和差

sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2

cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2

sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2

cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2

雙曲函式

sh a = [e^a-e^(-a)]/2

ch a = [e^a+e^(-a)]/2

th a = sin h(a)/cos h(a)

公式一:

設α為任意角,終邊相同的角的同一三角函式的值相等:

sin(2kπ+α)= sinα

cos(2kπ+α)= cosα

tan(2kπ+α)= tanα

cot(2kπ+α)= cotα

公式二:

設α為任意角,π+α的三角函式值與α的三角函式值之間的關係:

sin(π+α)= -sinα

cos(π+α)= -cosα

tan(π+α)= tanα

cot(π+α)= cotα

公式三:

任意角α與 -α的三角函式值之間的關係:

sin(-α)= -sinα

cos(-α)= cosα

tan(-α)= -tanα

cot(-α)= -cotα

公式四:

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函式值之間的關係:

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)= -cosα

tan(π-α)= -tanα

cot(π-α)= -cotα

公式五:

利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函式值之間的關係:

sin(2π-α)= -sinα

cos(2π-α)= cosα

tan(2π-α)= -tanα

cot(2π-α)= -cotα

公式六:

π/2±α及3π/2±α與α的三角函式值之間的關係:

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)= -sinα

tan(π/2+α)= -cotα

cot(π/2+α)= -tanα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

tan(π/2-α)= cotα

cot(π/2-α)= tanα

sin(3π/2+α)= -cosα

cos(3π/2+α)= sinα

tan(3π/2+α)= -cotα

cot(3π/2+α)= -tanα

sin(3π/2-α)= -cosα

cos(3π/2-α)= -sinα

tan(3π/2-α)= cotα

cot(3π/2-α)= tanα

(以上k∈z)

a·sin(ωt+θ)+ b·sin(ωt+φ) =

√ · sin }

√表示根號,包括中的內容

三角函式的誘導公式(六公式)

公式一 sin(-α) = -sinα

cos(-α) = cosα

tan (-α)=-tanα

公式二sin(π/2-α) = cosα

cos(π/2-α) = sinα

公式三 sin(π/2+α) = cosα

cos(π/2+α) = -sinα

公式四sin(π-α) = sinα

cos(π-α) = -cosα

公式五sin(π+α) = -sinα

cos(π+α) = -cosα

公式六tana= sina/cosa

tan(π/2+α)=-cotα

tan(π/2-α)=cotα

tan(π-α)=-tanα

tan(π+α)=tanα

誘導公式記背訣竅:奇變偶不變,符號看象限

萬能公式

sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]

cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]

tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]

其它公式

(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1(平方和公式)

(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個除(cosα)^2即可

(4)對於任意非直角三角形,總有

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

證:a+b=π-c

tan(a+b)=tan(π-c)

(tana+tanb)/(1-tanatanb)=(tanπ-tanc)/(1+tanπtanc)

整理可得

tana+tanb+tanc=tanatanbtanc

得證同樣可以得證,當x+y+z=nπ(n∈z)時,該關係式也成立

由tana+tanb+tanc=tanatanbtanc可得出以下結論

(5)cotacotb+cotacotc+cotbcotc=1

(6)cot(a/2)+cot(b/2)+cot(c/2)=cot(a/2)cot(b/2)cot(c/2)

(7)(cosa)^2;+(cosb)^2+(cosc)^2=1-2cosacosbcosc

(8)(sina)^2+(sinb)^2+(sinc)^2=2+2cosacosbcosc

其他非重點三角函式

csc(a) = 1/sin(a)

sec(a) = 1/cos(a)

(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2

冪級數式

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞

arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)

arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

無限公式

sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……

cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……

tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]

secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]

(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……

(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

和自變數數列求和有關的公式

sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)

cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2sin(nx/2)]/sin(x/2)

tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)

sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx

cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)

三角函式看似很多,很複雜,但只要掌握了三角函式的本質及內部規律就會發現三角函式各個公式之間有強大的聯絡。而掌握三角函式的內部規律及本質也是學好三角函式的關鍵所在。

1.三角函式本質:

[1] 根據右圖,有

sinθ=y/ r; cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y。

深刻理解了這一點,下面所有的三角公式都可以從這裡出發推匯出來,比如以推導

sin(a+b) = sinacosb+cosasinb 為例:

推導:首先畫單位圓交x軸於c,d,在單位圓上有任意a,b點。角aod為α,bod為β,旋轉aob使ob與od重合,形成新a'od。

a(cosα,sinα),b(cosβ,sinβ),a'(cos(α-β),sin(α-β))

oa'=oa=ob=od=1,d(1,0)

∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2

和差化積及積化和差用還原法結合上面公式可推出(換(a+b)/2與(a-b)/2)

兩角和公式

sin(a+b) = sinacosb+cosasinb

sin(a-b) = sinacosb-cosasinb

cos(a+b) = cosacosb-sinasinb

cos(a-b) = cosacosb+sinasinb

tan(a+b) = (tana+tanb)/(1-tanatanb)

tan(a-b) = (tana-tanb)/(1+tanatanb)

cot(a+b) = (cotacotb-1)/(cotb+cota)

cot(a-b) = (cotacotb+1)/(cotb-cota)

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